2a) Hallar el volumen del solido de revolución generado por el giro de la región limitada por \( y=9-x^{2}, y=5 \) alrededor de la recta \( y=-2 \).

Queremos encontrar el volumen del sólido obtenido al girar la región acotada por la parábola   y = 9 – x² y la recta   y = 5 alrededor de la recta horizontal   y = –2. ────────────────────────────── 1. Determinación de los límites en x La intersección entre la parábola y la recta se obtiene igualando:   9 – x² = 5 ⟹ x² = 4 ⟹ x = –2 y x = 2. Por tanto, la región está comprendida en x ∈ [–2, 2] y en y entre 5 y 9 – x² (observa que para -2 ≤ x ≤ 2, 9 – x² ≥ 5). ────────────────────────────── 2. Método de los discos (con agujero) o “washers” Como la recta de revolución es horizontal (y = –2), es conveniente usar la variable x. Para cada valor de x en [–2, 2] la “rebanada” vertical se extiende desde y = 5 hasta y = 9 – x². Al girar esa rebanada alrededor de y = –2 se forma un disco anular (washer) cuyos radios están dados por la distancia vertical desde la recta de giro hasta la frontera:  • Radio exterior R(x): distancia desde y = –2 hasta el límite superior y = 9 – x²   R(x) = (9 – x²) – (–2) = 11 – x².  • Radio interior r: distancia desde y = –2 hasta la recta inferior y = 5   r = 5 – (–2) = 7  (constante). El área de la sección transversal (washer) es:   A(x) = π [R(x)² – r²] = π [(11 – x²)² – 7²]. El volumen total viene dado por:   V = ∫[x=–2]^[2] A(x) dx = π ∫[–2]^[2] { (11 – x²)² – 49 } dx. ────────────────────────────── 3. Cálculo del volumen Notamos que la función integrando es par (ya que al elevar al cuadrado no aparecen términos impares) y por ello podemos escribir:   V = 2π ∫[0]^[2] { (11 – x²)² – 49 } dx. Primero expandimos (11 – x²)²:   (11 – x²)² = 121 – 22 x² + x⁴. Entonces:   (11 – x²)² – 49 = 121 – 22 x² + x⁴ – 49 = x⁴ – 22x² + 72. Así:   V = 2π ∫[0]^[2] (x⁴ – 22x² + 72) dx. Procedemos a integrar término a término: a) ∫[0]^[2] x⁴ dx = [x⁵/5]₀² = (2⁵)/5 – 0 = 32/5. b) ∫[0]^[2] (–22x²) dx = –22 ∫[0]^[2] x² dx = –22 [x³/3]₀² = –22 (8/3) = –176/3. c) ∫[0]^[2] 72 dx = 72x |₀² = 72·2 = 144. Por lo que:   ∫[0]^[2] (x⁴ – 22x² + 72) dx = 32/5 – 176/3 + 144. Para sumar estas fracciones, encontramos el mínimo común denominador, que es 15:   32/5 = 96/15,   176/3 = 880/15,   144 = 2160/15. Luego:   96/15 – 880/15 + 2160/15 = (96 – 880 + 2160)/15 = 1376/15. Por lo tanto, el volumen es:   V = 2π · (1376/15) = (2752 π)/15. ────────────────────────────── Respuesta final El volumen del sólido de revolución es:   V = (2752 π)⁄15 unidades cúbicas.