Considerando la siguiente función: $$ f(x)=-2 x^{2}+12 x-18 $$ Determine las transformaciones que sufrió considerando que su función original es $$ f(x)=x^{2} $$ Transformación 1 (efecto del signo menos afuera de Elegir... la función) Transformación 2 (efecto del número -3) Transformación 3 (efecto del número 2)

Question

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1. Partimos de la función original
   $$
   f(x)=x^2.
   $$

2. Escribe la función dada completando el cuadrado:
   $$
   f(x)=-2 x^2+12x-18.
   $$
   Factorizando $$-2$$ en los dos primeros términos:
   $$
   f(x)=-2\Bigl(x^2-6x\Bigr)-18.
   $$
   Para completar el cuadrado, se añade y sustrae $$9$$ (ya que $$\left(-\frac{6}{2}\right)^2=9$$):
   $$
   f(x)=-2\Bigl[(x^2-6x+9)-9\Bigr]-18=-2(x-3)^2+18-18=-2(x-3)^2.
   $$

3. Identificamos las transformaciones con respecto a $$f(x)=x^2$$:

- **Transformación 1 (efecto del signo menos afuera de la función):**  
     El coeficiente negativo, presente en $$-2$$, provoca una **reflexión respecto al eje $$x$$**.

- **Transformación 2 (efecto del número -3):**  
     Dentro del paréntesis aparece $$(x-3)^2$$; el $$-3$$ indica un **traslado horizontal hacia la derecha 3 unidades**  
     (recordando que en $$f(x-h)$$, $$h>0$$ implica un desplazamiento a la derecha).

- **Transformación 3 (efecto del número 2):**  
     El factor $$2$$ en el coeficiente $$-2$$ (sin contar el signo negativo) provoca un **estiramiento vertical en factor 2** (la distancia entre los puntos de la gráfica y el eje $$x$$ se multiplica por 2).
La función $$ f(x) = -2x^2 + 12x - 18 $$ se transforma de la función original $$ f(x) = x^2 $$ de la siguiente manera: 1. **Reflexión respecto al eje $$ x $$:** El coeficiente $$-2$$ refleja la parábola en el eje $$ x $$. 2. **Traslación horizontal a la derecha 3 unidades:** El término $$(x - 3)^2$$ desplaza la parábola 3 unidades hacia la derecha. 3. **Estiramiento vertical por un factor de 2:** El coeficiente $$2$$ estira la parábola verticalmente. Estas transformaciones convierten la parábola $$ f(x) = x^2 $$ en $$ f(x) = -2(x - 3)^2 $$.

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