Usando el método de Cramer, determina cuántas hectáreas deben destinarse a cada cultivo. 6. Una fábrica produce dos tipos de juguetes: coches y aviones. Para cumplir con las demandas, deben producirse en total 200 juguetes, y la relación entre coches y aviones debe ser de 3 a 2. Además, para satisfacer un contrato especifico, el número de coches debe ser el doble que el número de aviones más 20. Define las variables, plantea las ecuaciones y aplica el método de Gauss-Jordan.

Para resolver el problema utilizando el método de Cramer, primero definimos las variables y planteamos las ecuaciones basadas en la información proporcionada. ### Definición de variables: - Sea \( c \) el número de coches producidos. - Sea \( a \) el número de aviones producidos. ### Planteamiento de ecuaciones: 1. La suma total de juguetes (coches y aviones) debe ser 200: \[ c + a = 200 \] 2. La relación entre coches y aviones debe ser de 3 a 2. Esto se puede expresar como: \[ \frac{c}{a} = \frac{3}{2} \quad \Rightarrow \quad 2c - 3a = 0 \] 3. El número de coches debe ser el doble que el número de aviones más 20: \[ c = 2a + 20 \] Ahora tenemos un sistema de tres ecuaciones: 1. \( c + a = 200 \) (Ecuación 1) 2. \( 2c - 3a = 0 \) (Ecuación 2) 3. \( c - 2a = 20 \) (Ecuación 3) ### Representación en forma de matriz: Podemos representar este sistema de ecuaciones en forma de matriz: \[ \begin{bmatrix} 1 & 1 & | & 200 \\ 2 & -3 & | & 0 \\ 1 & -2 & | & 20 \end{bmatrix} \] ### Aplicación del método de Gauss-Jordan: Ahora aplicaremos el método de Gauss-Jordan para resolver el sistema. Primero, transformamos la matriz a su forma escalonada reducida. Realizaremos las operaciones necesarias para obtener la solución. 1. Multiplicamos la primera fila por 2 y restamos la segunda fila: \[ 2R_1 - R_2 \rightarrow R_2 \] Esto nos da: \[ \begin{bmatrix} 1 & 1 & | & 200 \\ 0 & 5 & | & 400 \\ 1 & -2 & | & 20 \end{bmatrix} \] 2. Restamos la primera fila de la tercera fila: \[ R_3 - R_1 \rightarrow R_3 \] Esto nos da: \[ \begin{bmatrix} 1 & 1 & | & 200 \\ 0 & 5 & | & 400 \\ 0 & -3 & | & -180 \end{bmatrix} \] 3. Ahora, dividimos la segunda fila por 5: \[ \frac{1}{5}R_2 \rightarrow R_2 \] Esto nos da: \[ \begin{bmatrix} 1 & 1 & | & 200 \\ 0 & 1 & | & 80 \\ 0 & -3 & | & -180 \end{bmatrix} \] 4. Sumamos 3 veces la segunda fila a la tercera fila: \[ R_3 + 3R_2 \rightarrow R_3 \] Esto nos da: \[ \begin{bmatrix} 1 & 1 & | & 200 \\ 0 & 1 & | & 80 \\ 0 & 0 & | & 0 \end{bmatrix} \] 5. Finalmente, restamos la segunda fila de la primera fila: \[ R_1 - R_2 \rightarrow R_1 \] Esto nos da: \[ \begin{bmatrix} 1 & 0 & | & 120 \\ 0 & 1 & | & 80 \\ 0 & 0 & | & 0 \end{bmatrix} \] ### Solución: De la matriz final, podemos leer las soluciones: - \( c = 120 \) (número de coches) - \( a = 80 \) (número de aviones) ### Conclusión: Para cumplir con la demanda, se deben producir 120 coches y 80 aviones.