Usando el método de Cramer, determina cuántas hectáreas deben destinarse a cada cultivo.
6. Una fábrica produce dos tipos de juguetes: coches y aviones. Para cumplir con las demandas,
deben producirse en total 200 juguetes, y la relación entre coches y aviones debe ser de 3
a 2. Además, para satisfacer un contrato especifico, el número de coches debe ser el doble
que el número de aviones más 20. Define las variables, plantea las ecuaciones y aplica el
método de Gauss-Jordan.

Question

UpStudy AI · Accepted Answer

Para resolver el problema utilizando el método de Cramer, primero definimos las variables y planteamos las ecuaciones basadas en la información proporcionada.

### Definición de variables:
- Sea $$ c $$ el número de coches producidos.
- Sea $$ a $$ el número de aviones producidos.

### Planteamiento de ecuaciones:
1. La suma total de juguetes (coches y aviones) debe ser 200:
   $$
   c + a = 200
   $$

2. La relación entre coches y aviones debe ser de 3 a 2. Esto se puede expresar como:
   $$
   \frac{c}{a} = \frac{3}{2} \quad \Rightarrow \quad 2c - 3a = 0
   $$

3. El número de coches debe ser el doble que el número de aviones más 20:
   $$
   c = 2a + 20
   $$

Ahora tenemos un sistema de tres ecuaciones:

1. $$ c + a = 200 $$  (Ecuación 1)
2. $$ 2c - 3a = 0 $$  (Ecuación 2)
3. $$ c - 2a = 20 $$   (Ecuación 3)

### Representación en forma de matriz:
Podemos representar este sistema de ecuaciones en forma de matriz:

$$
\begin{bmatrix}
1 & 1 & | & 200 \
2 & -3 & | & 0 \
1 & -2 & | & 20
\end{bmatrix}
$$

### Aplicación del método de Gauss-Jordan:
Ahora aplicaremos el método de Gauss-Jordan para resolver el sistema.

Primero, transformamos la matriz a su forma escalonada reducida. Realizaremos las operaciones necesarias para obtener la solución.

1. Multiplicamos la primera fila por 2 y restamos la segunda fila:
   $$
   2R_1 - R_2 \rightarrow R_2
   $$
   Esto nos da:
   $$
   \begin{bmatrix}
   1 & 1 & | & 200 \
   0 & 5 & | & 400 \
   1 & -2 & | & 20
   \end{bmatrix}
   $$

2. Restamos la primera fila de la tercera fila:
   $$
   R_3 - R_1 \rightarrow R_3
   $$
   Esto nos da:
   $$
   \begin{bmatrix}
   1 & 1 & | & 200 \
   0 & 5 & | & 400 \
   0 & -3 & | & -180
   \end{bmatrix}
   $$

3. Ahora, dividimos la segunda fila por 5:
   $$
   \frac{1}{5}R_2 \rightarrow R_2
   $$
   Esto nos da:
   $$
   \begin{bmatrix}
   1 & 1 & | & 200 \
   0 & 1 & | & 80 \
   0 & -3 & | & -180
   \end{bmatrix}
   $$

4. Sumamos 3 veces la segunda fila a la tercera fila:
   $$
   R_3 + 3R_2 \rightarrow R_3
   $$
   Esto nos da:
   $$
   \begin{bmatrix}
   1 & 1 & | & 200 \
   0 & 1 & | & 80 \
   0 & 0 & | & 0
   \end{bmatrix}
   $$

5. Finalmente, restamos la segunda fila de la primera fila:
   $$
   R_1 - R_2 \rightarrow R_1
   $$
   Esto nos da:
   $$
   \begin{bmatrix}
   1 & 0 & | & 120 \
   0 & 1 & | & 80 \
   0 & 0 & | & 0
   \end{bmatrix}
   $$

### Solución:
De la matriz final, podemos leer las soluciones:
- $$ c = 120 $$ (número de coches)
- $$ a = 80 $$ (número de aviones)

### Conclusión:
Para cumplir con la demanda, se deben producir 120 coches y 80 aviones.
Para cumplir con la demanda, se deben producir 120 coches y 80 aviones.

Solución de inteligencia artificial de Upstudy

Responder

Solución

Beyond the Answer

preguntas relacionadas

Latest Algebra Questions