Si a un lado de un cuadrado se le aumenta 2 m y al contiguo 7 m , obtenemos un rectángulo cuya área es \( 22 \mathrm{~m}^{2} \) más que el doble del cuadrado. Calcular las dimensiones del cuadrado.

Sean \( x \) la longitud del lado del cuadrado. 1. Al aumentar \( 2 \) m a un lado y \( 7 \) m al lado contiguo, las dimensiones del rectángulo serán: - Lado 1: \( x+2 \) - Lado 2: \( x+7 \) 2. El área del cuadrado es: \[ x^2 \] y el área del rectángulo es: \[ (x+2)(x+7) \] 3. Según el enunciado, el área del rectángulo es \( 22 \, \mathrm{m}^2 \) más que el doble del área del cuadrado, es decir: \[ (x+2)(x+7) = 2x^2 + 22. \] 4. Desarrollamos la ecuación: \[ (x+2)(x+7) = x^2 + 9x + 14, \] por lo que la ecuación queda: \[ x^2 + 9x + 14 = 2x^2 + 22. \] 5. Llevamos todos los términos a un lado de la ecuación: \[ 0 = 2x^2 + 22 - (x^2 + 9x + 14) = x^2 - 9x + 8. \] Es decir, \[ x^2 - 9x + 8 = 0. \] 6. Resolvemos la ecuación cuadrática. Calculamos el discriminante: \[ \Delta = (-9)^2 - 4(1)(8) = 81 - 32 = 49. \] Por lo que, \[ x = \frac{9 \pm \sqrt{49}}{2} = \frac{9 \pm 7}{2}. \] 7. Obtenemos las dos soluciones: - \( x = \frac{9 + 7}{2} = \frac{16}{2} = 8 \) - \( x = \frac{9 - 7}{2} = \frac{2}{2} = 1 \) 8. Verificamos ambas soluciones: - Para \( x=1 \): - Lado del cuadrado: \( 1 \) m. - Dimensiones del rectángulo: \( 1+2=3 \) m y \( 1+7=8 \) m. - Área del cuadrado: \( 1^2 = 1 \, \mathrm{m}^2 \). - Área del rectángulo: \( 3 \times 8 = 24 \, \mathrm{m}^2 \). - Doble del área del cuadrado más \( 22 \): \( 2(1)+22 = 24 \, \mathrm{m}^2 \). - Para \( x=8 \): - Lado del cuadrado: \( 8 \) m. - Dimensiones del rectángulo: \( 8+2=10 \) m y \( 8+7=15 \) m. - Área del cuadrado: \( 8^2 = 64 \, \mathrm{m}^2 \). - Área del rectángulo: \( 10 \times 15 = 150 \, \mathrm{m}^2 \). - Doble del área del cuadrado más \( 22 \): \( 2(64)+22 = 128+22 = 150 \, \mathrm{m}^2 \). Ambas soluciones cumplen la condición dada. Por lo tanto, las dimensiones del cuadrado pueden ser: - Un cuadrado de lado \( 1 \) m, o bien - Un cuadrado de lado \( 8 \) m.