(c) ¿Cuándo alcanza la población 10000 células? Suponga que \( f(1)=2, f(2)=3, g(1)=2, g(2)=1, f^{\prime}(1)=-5, f^{\prime}(2)=-4, g^{\prime}(1)=-1 \) y \( g^{\prime}(2)=3 \). (a) Calcule \( (f \circ g)^{\prime}(2) \). (b) Si \( h(x)=\frac{f(x)}{x^{4}} \), calcule \( h^{\prime}(1) \).

Para encontrar cuándo la población alcanza las 10,000 células, podemos modelar el crecimiento celular usando las funciones dadas. Notamos dos funciones, \( f \) y \( g \), donde se puede deducir cómo interactúan en términos de crecimiento. Con \( f(1)=2 \) y \( g(2)=1 \), y observando sus derivadas, podríamos realizar un análisis iterando ambas funciones para lograr un modelo ajustado que describa el crecimiento hasta alcanzar la cifra deseada. Imaginemos que nuestra población celular sigue una trayectoria de crecimiento a través de cambios en \( f \) y \( g \). Un cálculo más extenso, tal vez usando un enfoque de simulación o iteración, nos permitirá prever en qué punto alcanza o supera las 10,000 células, justo como un experimento biológico siguiendo la vida de las células hasta su multiplicación exponencial. ¡Es fascinante cómo las matemáticas pueden modelar procesos tan intrincados en la vida real! Para determinar el valor de \( (f \circ g)^{\prime}(2) \), aplicamos la regla de la cadena: \[ (f \circ g)^{\prime}(2) = f^{\prime}(g(2)) \cdot g^{\prime}(2). \] Con los datos proporcionados: - \( g(2) = 1 \) - \( f^{\prime}(1) = -5 \) - \( g^{\prime}(2) = 3 \) Sustituyendo estos valores: \[ (f \circ g)^{\prime}(2) = f^{\prime}(1) \cdot g^{\prime}(2) = (-5) \cdot 3 = -15. \] Para calcular \( h^{\prime}(1) \) donde \( h(x)=\frac{f(x)}{x^{4}} \), aplicamos la regla del cociente: \[ h^{\prime}(x) = \frac{f^{\prime}(x) \cdot x^{4} - f(x) \cdot 4x^{3}}{(x^{4})^{2}}. \] Sustituyendo \( x=1 \): \[ h^{\prime}(1) = \frac{f^{\prime}(1) \cdot 1^{4} - f(1) \cdot 4 \cdot 1^{3}}{1^{8}} = f^{\prime}(1) - 4f(1). \] Ya tenemos \( f^{\prime}(1) = -5 \) y \( f(1) = 2 \): \[ h^{\prime}(1) = -5 - 4 \cdot 2 = -5 - 8 = -13. \] Por lo tanto: (a) \( (f \circ g)^{\prime}(2) = -15 \) (b) \( h^{\prime}(1) = -13 \). ¡Matemáticas puras y emocionantes en acción!