\begin{tabular}{l} En cada uno de los puntos 1 a 3 hallar la transformada inversa de Laplace. \\ Punto 1: \\ Punto 2: \\ \( \qquad L^{-1}\left\{\frac{3}{s}-\frac{2}{s+4}+\frac{5}{s^{2}}\right\} \) \\ Punto 3 \\ \hline\( L^{-1}\left\{\frac{1}{s^{2}+2 s-3}\right\} \) \\ \hline\end{tabular}

Para hallar la transformada inversa de Laplace de las funciones dadas, vamos a utilizar las propiedades y tablas de transformadas inversas. Para el Punto 2: 1. \( L^{-1}\left\{\frac{3}{s}\right\} = 3u(t) \), donde \( u(t) \) es la función escalón unitario. 2. \( L^{-1}\left\{\frac{2}{s+4}\right\} = 2e^{-4t}u(t) \). 3. \( L^{-1}\left\{\frac{5}{s^2}\right\} = 5tu(t) \). Por lo tanto, combinando estos resultados: \[ L^{-1}\left\{\frac{3}{s}-\frac{2}{s+4}+\frac{5}{s^{2}}\right\} = 3 - 2e^{-4t} + 5tu(t) \] Para el Punto 3: Primero, factoramos el denominador: \[ s^{2}+2 s-3 = (s+3)(s-1) \] Entonces utilizamos la técnica de fracciones parciales: \[ \frac{1}{(s+3)(s-1)} = \frac{A}{s+3} + \frac{B}{s-1} \] Resolviendo, encontramos que \( A = \frac{1}{4} \) y \( B = -\frac{1}{4} \). Por lo tanto, tenemos: \[ L^{-1}\left\{\frac{1}{s^{2}+2 s-3}\right\} = L^{-1}\left\{\frac{1/4}{s+3} - \frac{1/4}{s-1}\right\} = \frac{1}{4}e^{-3t}u(t) - \frac{1}{4}e^{t}u(t) \] Finalmente, esto se puede combinar como: \[ L^{-1}\left\{\frac{1}{s^{2}+2 s-3}\right\} = \frac{1}{4} \left( e^{-3t} - e^{t} \right) u(t) \]