\begin{tabular}{l} En cada uno de los puntos 1 a 3 hallar la transformada inversa de Laplace. \\ Punto 1: \\ Punto 2: \\ \( \qquad L^{-1}\left\{\frac{3}{s}-\frac{2}{s+4}+\frac{5}{s^{2}}\right\} \) \\ Punto 3 \\ \hline\( L^{-1}\left\{\frac{1}{s^{2}+2 s-3}\right\} \) \\ \hline\end{tabular}

**Punto 2** Calculamos la transformada inversa de \[ \frac{3}{s}-\frac{2}{s+4}+\frac{5}{s^{2}}. \] Utilizamos las siguientes transformadas inversas conocidas: - \( L^{-1}\left\{\frac{1}{s}\right\} = 1 \). - \( L^{-1}\left\{\frac{1}{s+a}\right\} = e^{-at} \). - \( L^{-1}\left\{\frac{1}{s^2}\right\} = t \). Aplicamos linealidad: 1. \( L^{-1}\left\{\frac{3}{s}\right\} = 3\cdot 1 = 3 \). 2. \( L^{-1}\left\{\frac{2}{s+4}\right\} = 2\,e^{-4t} \). 3. \( L^{-1}\left\{\frac{5}{s^2}\right\} = 5t \). Por lo tanto, la transformada inversa es \[ f(t)=3-2e^{-4t}+5t. \] --- **Punto 3** Se requiere hallar la transformada inversa de \[ \frac{1}{s^{2}+2s-3}. \] Primero, factorizamos el denominador: \[ s^2+2s-3=(s-1)(s+3). \] Procedemos a descomponer en fracciones parciales: \[ \frac{1}{(s-1)(s+3)}=\frac{A}{s-1}+\frac{B}{s+3}. \] Multiplicando ambos lados por \((s-1)(s+3)\) obtenemos: \[ 1 = A(s+3)+B(s-1). \] Determinamos \(A\) y \(B\): - Sea \(s=1\): \[ 1 = A(1+3)+B(1-1) \quad \Rightarrow \quad 1=4A \quad \Rightarrow \quad A=\frac{1}{4}. \] - Sea \(s=-3\): \[ 1 = A(-3+3)+B(-3-1) \quad \Rightarrow \quad 1= -4B \quad \Rightarrow \quad B=-\frac{1}{4}. \] La descomposición es: \[ \frac{1}{(s-1)(s+3)}=\frac{1/4}{s-1} - \frac{1/4}{s+3}. \] Aplicamos la transformada inversa, recordando que \[ L^{-1}\left\{ \frac{1}{s-a}\right\}=e^{at}. \] Por lo tanto: 1. \( L^{-1}\left\{\frac{1/4}{s-1}\right\}=\frac{1}{4}e^{t} \). 2. \( L^{-1}\left\{-\frac{1/4}{s+3}\right\}=-\frac{1}{4}e^{-3t} \). Finalmente, la transformada inversa es \[ f(t)=\frac{1}{4}e^{t}-\frac{1}{4}e^{-3t}. \]