triangle $$ A B C $$ issue du sommet $$ A $$. 28 Dans le plan muni d'un repère orthonormé $$ (O, I, J) $$ (unité graphique 1 cm ), on donne les points $$ P(0 ;-3), Q(-3 ; 6) $$ et $$ R(5 ; 2) $$. 1. Place les points $$ P, Q $$ et $$ R $$ dans le plan muni du repère $$ (O, I, J) $$. 2. Démontre que les points $$ P, Q $$ et $$ R $$ sont non alignés. 3. La hauteur du triangle $$ P Q R $$ issue du sommet $$ P $$ coupe $$ (Q R) $$ en $$ A $$ et la hauteur issue du sommet $$ Q $$ coupe (PR) en $$ B $$. a) Détermine une équation des droites (AP) et (BQ). b) Détermine lescoordonnées du point Horthocentre du triangle $$ P Q R $$.

Question

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1. On place les points dans le repère :
   - $$ P(0,-3) $$
   - $$ Q(-3,6) $$
   - $$ R(5,2) $$

2. Pour montrer que les points $$ P$$, $$ Q$$ et $$ R$$ ne sont pas alignés, on peut calculer le déterminant des vecteurs $$ \vec{PQ}$$ et $$ \vec{PR}$$.

- Calcul de $$ \vec{PQ}$$ :
     $$
     \vec{PQ} = Q - P = (-3 - 0,\, 6 - (-3)) = (-3,\, 9)
     $$
   - Calcul de $$ \vec{PR}$$ :
     $$
     \vec{PR} = R - P = (5 - 0,\, 2 - (-3)) = (5,\, 5)
     $$
   - Le déterminant est
     $$
     \det(\vec{PQ},\vec{PR}) = \begin{vmatrix} -3 & 5 \ 9 & 5 \end{vmatrix} = (-3) \times 5 - 9 \times 5 = -15 - 45 = -60.
     $$
     
   Puisque $$ \det(\vec{PQ},\vec{PR}) \neq 0$$, les points $$ P$$, $$ Q$$ et $$ R$$ ne sont pas alignés.

3. Détermination des hauteurs du triangle $$ PQR $$ :

a) Pour trouver les équations des droites $$ (AP) $$ et $$ (BQ) $$ :
   
   - **Hauteur issue du sommet $$ P $$ :**  
     La hauteur issue de $$ P $$ est perpendiculaire à la droite $$ (QR) $$.  
     La droite $$ (QR) $$ passe par $$ Q(-3,6) $$ et $$ R(5,2) $$.  
     
     Son coefficient directeur est
     $$
     m_{QR} = \frac{2-6}{5-(-3)} = \frac{-4}{8} = -\frac{1}{2}.
     $$
     La pente de la hauteur, étant perpendiculaire à $$ (QR) $$, est l’opposé de l’inverse de $$ m_{QR} $$ :
     $$
     m_{AP} = 2.
     $$
     Comme cette droite passe par $$ P(0,-3) $$, son équation est
     $$
     y = 2x - 3.
     $$
     
   - **Hauteur issue du sommet $$ Q $$ :**  
     La hauteur issue de $$ Q $$ est perpendiculaire à la droite $$ (PR) $$.  
     La droite $$ (PR) $$ passe par $$ P(0,-3) $$ et $$ R(5,2) $$.  
     
     Son coefficient directeur est
     $$
     m_{PR} = \frac{2-(-3)}{5-0} = \frac{5}{5} = 1.
     $$
     La pente de la hauteur, perpendiculaire à $$ (PR) $$, est alors
     $$
     m_{BQ} = -1.
     $$
     Comme cette droite passe par $$ Q(-3,6) $$, son équation s'écrit
     $$
     y - 6 = -1(x - (-3)) \quad \text{i.e.} \quad y - 6 = -1(x + 3).
     $$
     Ce qui se simplifie en
     $$
     y = -x - 3 + 6 \quad \Rightarrow \quad y = -x + 3.
     $$
   
   b) Pour trouver les coordonnées de l’orthocentre $$ H $$, on détermine le point d’intersection des deux hauteurs précédentes :
   
   $$
   \begin{cases}
   y = 2x - 3,\[1mm]
   y = -x + 3.
   \end{cases}
   $$
   
   En égalant les deux expressions de $$ y $$ :
   $$
   2x - 3 = -x + 3.
   $$
   On regroupe :
   $$
   2x + x = 3 + 3 \quad \Rightarrow \quad 3x = 6,
   $$
   d'où
   $$
   x = 2.
   $$
   En substituant $$ x = 2 $$ dans l'une des équations, par exemple $$ y = 2x - 3 $$,
   $$
   y = 2(2) - 3 = 4 - 3 = 1.
   $$
   
   Ainsi, l’orthocentre $$ H $$ a pour coordonnées $$ (2,1) $$.
1. Place les points $$ P(0,-3) $$, $$ Q(-3,6) $$, et $$ R(5,2) $$ dans le repère $$ (O, I, J) $$. 2. Les points $$ P $$, $$ Q $$, et $$ R $$ ne sont pas alignés car le déterminant des vecteurs $$ \vec{PQ} $$ et $$ \vec{PR} $$ est non nul. 3. a) Équations des droites : - $$ (AP) : y = 2x - 3 $$ - $$ (BQ) : y = -x + 3 $$ b) Coordonnées de l’orthocentre $$ H $$ : $$ (2,1) $$.

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