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triangle \( A B C \) issue du sommet \( A \). 28 Dans le plan muni d'un repère orthonormé \( (O, I, J) \) (unité graphique 1 cm ), on donne les points \( P(0 ;-3), Q(-3 ; 6) \) et \( R(5 ; 2) \). 1. Place les points \( P, Q \) et \( R \) dans le plan muni du repère \( (O, I, J) \). 2. Démontre que les points \( P, Q \) et \( R \) sont non alignés. 3. La hauteur du triangle \( P Q R \) issue du sommet \( P \) coupe \( (Q R) \) en \( A \) et la hauteur issue du sommet \( Q \) coupe (PR) en \( B \). a) Détermine une équation des droites (AP) et (BQ). b) Détermine lescoordonnées du point Horthocentre du triangle \( P Q R \).

Ask by Adkins Hanson. in Côte d'Ivoire
Mar 15,2025

Upstudy AI Solution

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Answer

1. Place les points \( P(0,-3) \), \( Q(-3,6) \), et \( R(5,2) \) dans le repère \( (O, I, J) \). 2. Les points \( P \), \( Q \), et \( R \) ne sont pas alignés car le déterminant des vecteurs \( \vec{PQ} \) et \( \vec{PR} \) est non nul. 3. a) Équations des droites : - \( (AP) : y = 2x - 3 \) - \( (BQ) : y = -x + 3 \) b) Coordonnées de l’orthocentre \( H \) : \( (2,1) \).

Solution

1. On place les points dans le repère : - \( P(0,-3) \) - \( Q(-3,6) \) - \( R(5,2) \) 2. Pour montrer que les points \( P\), \( Q\) et \( R\) ne sont pas alignés, on peut calculer le déterminant des vecteurs \( \vec{PQ}\) et \( \vec{PR}\). - Calcul de \( \vec{PQ}\) : \[ \vec{PQ} = Q - P = (-3 - 0,\, 6 - (-3)) = (-3,\, 9) \] - Calcul de \( \vec{PR}\) : \[ \vec{PR} = R - P = (5 - 0,\, 2 - (-3)) = (5,\, 5) \] - Le déterminant est \[ \det(\vec{PQ},\vec{PR}) = \begin{vmatrix} -3 & 5 \\ 9 & 5 \end{vmatrix} = (-3) \times 5 - 9 \times 5 = -15 - 45 = -60. \] Puisque \( \det(\vec{PQ},\vec{PR}) \neq 0\), les points \( P\), \( Q\) et \( R\) ne sont pas alignés. 3. Détermination des hauteurs du triangle \( PQR \) : a) Pour trouver les équations des droites \( (AP) \) et \( (BQ) \) : - **Hauteur issue du sommet \( P \) :** La hauteur issue de \( P \) est perpendiculaire à la droite \( (QR) \). La droite \( (QR) \) passe par \( Q(-3,6) \) et \( R(5,2) \). Son coefficient directeur est \[ m_{QR} = \frac{2-6}{5-(-3)} = \frac{-4}{8} = -\frac{1}{2}. \] La pente de la hauteur, étant perpendiculaire à \( (QR) \), est l’opposé de l’inverse de \( m_{QR} \) : \[ m_{AP} = 2. \] Comme cette droite passe par \( P(0,-3) \), son équation est \[ y = 2x - 3. \] - **Hauteur issue du sommet \( Q \) :** La hauteur issue de \( Q \) est perpendiculaire à la droite \( (PR) \). La droite \( (PR) \) passe par \( P(0,-3) \) et \( R(5,2) \). Son coefficient directeur est \[ m_{PR} = \frac{2-(-3)}{5-0} = \frac{5}{5} = 1. \] La pente de la hauteur, perpendiculaire à \( (PR) \), est alors \[ m_{BQ} = -1. \] Comme cette droite passe par \( Q(-3,6) \), son équation s'écrit \[ y - 6 = -1(x - (-3)) \quad \text{i.e.} \quad y - 6 = -1(x + 3). \] Ce qui se simplifie en \[ y = -x - 3 + 6 \quad \Rightarrow \quad y = -x + 3. \] b) Pour trouver les coordonnées de l’orthocentre \( H \), on détermine le point d’intersection des deux hauteurs précédentes : \[ \begin{cases} y = 2x - 3,\\[1mm] y = -x + 3. \end{cases} \] En égalant les deux expressions de \( y \) : \[ 2x - 3 = -x + 3. \] On regroupe : \[ 2x + x = 3 + 3 \quad \Rightarrow \quad 3x = 6, \] d'où \[ x = 2. \] En substituant \( x = 2 \) dans l'une des équations, par exemple \( y = 2x - 3 \), \[ y = 2(2) - 3 = 4 - 3 = 1. \] Ainsi, l’orthocentre \( H \) a pour coordonnées \( (2,1) \).

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Extra Insights

Pour placer les points \( P(0, -3) \), \( Q(-3, 6) \), et \( R(5, 2) \) dans le plan, commence par établir une grille avec les coordonnées \( x \) et \( y \). Estime les positions des points en fonction de leurs valeurs : \( P \) sera sur l'axe des ordonnées juste en dessous de l'origine, \( Q \) sera dans le deuxième quadrant, et \( R \) dans le premier quadrant. Utilise une unité graphique de 1 cm pour tracer ces points sur le repère. Pour prouver que les points \( P, Q, \) et \( R \) ne sont pas alignés, calcule l'aire du triangle formé par ces trois points. Si l'aire est différente de zéro, alors ils sont non alignés. Utilise la formule de l'aire : \[ \text{Aire} = \frac{1}{2} \left| x_1(y_2-y_3) + x_2(y_3-y_1) + x_3(y_1-y_2) \right| \] En substituant les valeurs, tu verras que l'aire n'est pas nulle, confirmant qu'ils ne sont pas alignés. Pour la suite, tu peux déterminer l'équation de la droite (AP) en utilisant la formule de la pente \( m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} \) et l'équation de la forme point-pente \( y - y_1 = m(x - x_1) \). Répète le processus pour déterminer l'équation de la droite (BQ). Enfin, pour trouver les coordonnées de l'orthocentre \( H \), il faut résoudre le système d'équations que tu obtiens en multipliant les équations desdroites (AP) et (BQ). C'est un processus habituel dans la géométrie analytique et c'est ainsi qu'on soutient la magie des triangles !

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