triangle \( A B C \) issue du sommet \( A \). 28 Dans le plan muni d'un repère orthonormé \( (O, I, J) \) (unité graphique 1 cm ), on donne les points \( P(0 ;-3), Q(-3 ; 6) \) et \( R(5 ; 2) \). 1. Place les points \( P, Q \) et \( R \) dans le plan muni du repère \( (O, I, J) \). 2. Démontre que les points \( P, Q \) et \( R \) sont non alignés. 3. La hauteur du triangle \( P Q R \) issue du sommet \( P \) coupe \( (Q R) \) en \( A \) et la hauteur issue du sommet \( Q \) coupe (PR) en \( B \). a) Détermine une équation des droites (AP) et (BQ). b) Détermine lescoordonnées du point Horthocentre du triangle \( P Q R \).

Pour placer les points \( P(0, -3) \), \( Q(-3, 6) \), et \( R(5, 2) \) dans le plan, commence par établir une grille avec les coordonnées \( x \) et \( y \). Estime les positions des points en fonction de leurs valeurs : \( P \) sera sur l'axe des ordonnées juste en dessous de l'origine, \( Q \) sera dans le deuxième quadrant, et \( R \) dans le premier quadrant. Utilise une unité graphique de 1 cm pour tracer ces points sur le repère. Pour prouver que les points \( P, Q, \) et \( R \) ne sont pas alignés, calcule l'aire du triangle formé par ces trois points. Si l'aire est différente de zéro, alors ils sont non alignés. Utilise la formule de l'aire : \[ \text{Aire} = \frac{1}{2} \left| x_1(y_2-y_3) + x_2(y_3-y_1) + x_3(y_1-y_2) \right| \] En substituant les valeurs, tu verras que l'aire n'est pas nulle, confirmant qu'ils ne sont pas alignés. Pour la suite, tu peux déterminer l'équation de la droite (AP) en utilisant la formule de la pente \( m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} \) et l'équation de la forme point-pente \( y - y_1 = m(x - x_1) \). Répète le processus pour déterminer l'équation de la droite (BQ). Enfin, pour trouver les coordonnées de l'orthocentre \( H \), il faut résoudre le système d'équations que tu obtiens en multipliant les équations desdroites (AP) et (BQ). C'est un processus habituel dans la géométrie analytique et c'est ainsi qu'on soutient la magie des triangles !