$$ ( y + e ^ { x } ) d x + ( x + e ^ { y } ) d y = 0 $$

Question

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1. Identificamos la ecuación diferencial:

$$
( y + e^{x} )\, dx + ( x + e^{y} )\, dy = 0
$$

Definimos:

$$
M(x,y) = y + e^{x}, \quad N(x,y) = x + e^{y}.
$$

2. Verificamos la exactitud. Para ello, debemos comprobar que:

$$
\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}.
$$

Calculamos:

$$
\frac{\partial M}{\partial y} = 1, \quad \frac{\partial N}{\partial x} = 1.
$$

Como $$ 1 = 1 $$, la ecuación es exacta.

3. Existe una función potencial $$\Psi(x,y)$$ tal que:

$$
\frac{\partial \Psi}{\partial x} = M(x,y) = y + e^{x},
$$

$$
\frac{\partial \Psi}{\partial y} = N(x,y) = x + e^{y}.
$$

4. Integramos $$M(x,y)$$ con respecto a $$x$$ para obtener $$\Psi(x,y)$$:

$$
\Psi(x,y) = \int ( y + e^{x} )\, dx = xy + e^{x} + h(y),
$$

donde $$h(y)$$ es una función de $$y$$ que surge de la integración.

5. Derivamos $$\Psi(x,y)$$ con respecto a $$y$$:

$$
\frac{\partial \Psi}{\partial y} = x + h'(y).
$$

Igualamos esta derivada a $$N(x,y)$$:

$$
x + h'(y) = x + e^{y}.
$$

Se tiene:

$$
h'(y) = e^{y}.
$$

6. Integramos con respecto a $$y$$ para determinar $$h(y)$$:

$$
h(y) = \int e^{y}\, dy = e^{y} + C.
$$

Podemos omitir la constante $$C$$ ya que se incluirá en la constante general de la solución.

7. La función potencial completa es:

$$
\Psi(x,y) = xy + e^{x} + e^{y}.
$$

La solución general de la ecuación diferencial es el conjunto de niveles de $$\Psi(x,y)$$:

$$
xy + e^{x} + e^{y} = C,
$$

donde $$C$$ es una constante arbitraria.
La solución general de la ecuación diferencial $$ ( y + e^{x} )\, dx + ( x + e^{y} )\, dy = 0 $$ es: $$ xy + e^{x} + e^{y} = C, $$ donde $$C$$ es una constante arbitraria.

\( ( y + e ^ { x } ) d x + ( x + e ^ { y } ) d y = 0 \)

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