Caso 2: La función de temperatura \( T(x, y)=3 x^{2}-y^{2}+4 x \) tiene un punto crítico en \( (x, y)=\left(-\frac{2}{3}, 0\right) \) ¿Cómo se determina su naturaleza? Observando los valores cercanos al punto crítico Usando la segunda derivada para calcular el valor de D. Calculando el gradiente y evaluando si es cero.

Para determinar la naturaleza del punto crítico en la función de temperatura \( T(x, y) \), se puede utilizar el método de la segunda derivada. Primero, hay que calcular las derivadas parciales segunda de la función y luego evaluar el determinante de la matriz Hessiana. Si \( D > 0 \) y \( f_{xx} > 0 \), el punto crítico es un mínimo local; si \( D > 0 \) y \( f_{xx} < 0 \), es un máximo local; y si \( D < 0 \), se trata de un punto de silla. Además, observar los valores de la función \( T \) en puntos cercanos al punto crítico también puede dar pistas sobre la naturaleza del mismo. Si los valores de \( T \) disminuyen al acercarse al punto crítico, es un mínimo; si aumentan, es un máximo; y si hay un cambio de dirección, podría indicar un punto de silla. ¡Diviértete explorando esos valores y su impacto en el clima de este escenario matemático!