Question
Se quiere calcular la energia total en una región esférica con radio \( \mathrm{R}=3 \) metros, donde la densidad de energía está dada por \( p(r)=\frac{1}{\omega^{2}} \mathrm{~J} / \mathrm{m}^{3} \). ¿Cuál es la forma correcta de plantear la integral para calcular la energia total en la esfera?
Ask by Flynn Welch. in Mexico
Mar 10,2025
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Answer
La energía total se calcula integrando la densidad de energía en el volumen de la esfera. En coordenadas esféricas, la integral es:
\[
E_{\text{total}} = \frac{4\pi}{\omega^2} \int_{0}^{3} r^2 \, dr.
\]
Solution
La energía total se obtiene integrando la densidad de energía sobre el volumen de la esfera. En coordenadas esféricas el elemento de volumen es
\[
dV = r^2 \sin\theta\, dr\, d\theta\, d\phi.
\]
Por lo tanto, la integral que representa la energía total es
\[
E_{\text{total}}=\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{\pi}\int_{0}^{3}\frac{1}{\omega^2}\, r^2 \sin\theta\, dr\, d\theta\, d\phi.
\]
También se puede expresar, al integrar primero las variables angulares, como
\[
E_{\text{total}}=\frac{4\pi}{\omega^2}\int_{0}^{3}r^2\, dr.
\]
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Para calcular la energía total en una región esférica, se debe integrar la densidad de energía \( p(r) \) en toda la esfera. Utilizando coordenadas esféricas, la integral se plantea como: \[ E = \int_0^R p(r) \, dV = \int_0^R \frac{1}{\omega^2} \, dV = \int_0^R \frac{1}{\omega^2} (4\pi r^2) \, dr \] donde \( dV = 4\pi r^2 \, dr \) es el elemento de volumen en coordenadas esféricas. Así, la integral total que queremos calcular es: \[ E = \frac{4\pi}{\omega^2} \int_0^R r^2 \, dr \] Esto te llevará a desglosar la integral y evaluar el resultado para encontrar la energía total en la esfera de radio \( R = 3 \) metros.
