Dada la función \( y=\ln \left(x^{2}+1\right)-x \), hallar analíticamente los intervalos de concavidad y lo puntos de inflexión.

Para determinar los intervalos de concavidad y los puntos de inflexión de la función \( y = \ln(x^2 + 1) - x \), primero necesitamos calcular la segunda derivada de la función. 1. **Primera derivada**: Comenzamos calculando la primera derivada \( y' \): \[ y' = \frac{d}{dx} \left( \ln(x^2 + 1) - x \right) \] Usamos la regla de la cadena para la derivada del logaritmo: \[ y' = \frac{1}{x^2 + 1} \cdot (2x) - 1 = \frac{2x}{x^2 + 1} - 1 \] Simplificamos: \[ y' = \frac{2x - (x^2 + 1)}{x^2 + 1} = \frac{2x - x^2 - 1}{x^2 + 1} = \frac{-x^2 + 2x - 1}{x^2 + 1} \] 2. **Segunda derivada**: Ahora calculamos la segunda derivada \( y'' \): Usamos la regla del cociente: \[ y'' = \frac{(x^2 + 1)(-2x + 2) - (-x^2 + 2x - 1)(2x)}{(x^2 + 1)^2} \] Simplificamos el numerador: \[ y'' = \frac{(-2x^3 + 2x^2 - 2x + 2) - (-2x^3 + 4x^2 - 2x)}{(x^2 + 1)^2} \] \[ = \frac{-2x^3 + 2x^2 - 2x + 2 + 2x^3 - 4x^2 + 2x}{(x^2 + 1)^2} \] \[ = \frac{-2x^2 + 2}{(x^2 + 1)^2} \] \[ = \frac{2(1 - x^2)}{(x^2 + 1)^2} \] 3. **Encontrar los puntos de inflexión**: Para encontrar los puntos de inflexión, igualamos la segunda derivada a cero: \[ \frac{2(1 - x^2)}{(x^2 + 1)^2} = 0 \] Esto implica que: \[ 1 - x^2 = 0 \implies x^2 = 1 \implies x = 1 \text{ o } x = -1 \] Los puntos de inflexión son \( x = 1 \) y \( x = -1 \). 4. **Intervalos de concavidad**: Ahora determinamos los intervalos de concavidad analizando el signo de \( y'' \): - Para \( x < -1 \): \( 1 - x^2 > 0 \) (concavidad hacia arriba). - Para \( -1 < x < 1 \): \( 1 - x^2 > 0 \) (concavidad hacia arriba). - Para \( x > 1 \): \( 1 - x^2 < 0 \) (concavidad hacia abajo). 5. **Conclusiones**: - Los intervalos de concavidad son: - Concavidad hacia arriba: \( (-\infty, -1) \) y \( (-1, 1) \) - Concavidad hacia abajo: \( (1, \infty) \) - Los puntos de inflexión son \( x = -1 \) y \( x = 1 \). Por lo tanto, los intervalos de concavidad y los puntos de inflexión de la función \( y = \ln(x^2 + 1) - x \) son: - **Intervalos de concavidad**: - Concavidad hacia arriba: \( (-\infty, -1) \) y \( (-1, 1) \) - Concavidad hacia abajo: \( (1, \infty) \) - **Puntos de inflexión**: \( x = -1 \) y \( x = 1 \).