Resuelva \[ \left\{\begin{array}{l}x+2 y=1 \\ 2 x-z=1 \\ 5 y+z=0\end{array}\right. \] indique xyz.
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Para resolver el sistema de ecuaciones, comenzamos con las ecuaciones: 1. \( x + 2y = 1 \) (Ecuación 1) 2. \( 2x - z = 1 \) (Ecuación 2) 3. \( 5y + z = 0 \) (Ecuación 3) Primero, despejamos \( z \) en términos de \( y \) usando la Ecuación 3: \[ z = -5y \quad \text{(Ecuación 4)} \] Sustituimos \( z \) en la Ecuación 2: \[ 2x - (-5y) = 1 \Rightarrow 2x + 5y = 1 \quad \text{(Ecuación 5)} \] Ahora tenemos un nuevo sistema con las Ecuaciones 1 y 5: 1. \( x + 2y = 1 \) (Ecuación 1) 2. \( 2x + 5y = 1 \) (Ecuación 5) Multiplicamos la Ecuación 1 por 2 para facilitar la eliminación: \[ 2x + 4y = 2 \quad \text{(Ecuación 6)} \] Restamos la Ecuación 5 de la Ecuación 6: \[ (2x + 4y) - (2x + 5y) = 2 - 1 \] Esto simplifica a: \[ 4y - 5y = 1 \Rightarrow -y = 1 \Rightarrow y = -1 \] Sustituyendo \( y = -1 \) en la Ecuación 1: \[ x + 2(-1) = 1 \Rightarrow x - 2 = 1 \Rightarrow x = 3 \] Ahora usamos el valor de \( y \) en la Ecuación 4 para encontrar \( z \): \[ z = -5(-1) = 5 \] Por lo tanto, los valores son: \[ x = 3, \quad y = -1, \quad z = 5 \] Finalmente, multiplicamos \( x, y, z \) para obtener \( xyz \): \[ xyz = 3 \cdot (-1) \cdot 5 = -15 \] La respuesta es: \[ xyz = -15 \]
