Obtenga (a syte integial definida \( \left.\int_{-5}^{0}(3+\mid x+4)\right) d x \)

Para resolver la integral definida \( \int_{-5}^{0}(3+\mid x+4)\,dx \), primero necesitamos descomponer la función en los límites de la integral. La expresión \( |x + 4| \) cambia en \( x = -4 \). Entonces, evaluamos la integral en dos partes: 1. Desde \( -5 \) hasta \( -4 \), donde \( |x + 4| = - (x + 4) = -x - 4 \). 2. Desde \( -4 \) hasta \( 0 \), donde \( |x + 4| = x + 4 \). Así, la integral se convierte en: \[ \int_{-5}^{-4} \left(3 - (x + 4)\right)\,dx + \int_{-4}^{0} \left(3 + (x + 4)\right)\,dx \] Calculamos ambas integrales separadamente: 1. Para la primera parte: \[ \int_{-5}^{-4} \left(-x - 1\right)\,dx = \left[-\frac{x^2}{2} - x\right]_{-5}^{-4} = \left[-\frac{(-4)^2}{2} - (-4)\right] - \left[-\frac{(-5)^2}{2} - (-5)\right] \] Calculando los valores: \[ = \left[-8 + 4\right] - \left[-\frac{25}{2} + 5\right] = -4 + \frac{25}{2} - 5 = -4 + 12.5 - 5 = 3.5 \] 2. Para la segunda parte: \[ \int_{-4}^{0} (x + 7)\,dx = \left[\frac{x^2}{2} + 7x\right]_{-4}^{0} = \left[0\right] - \left[\frac{(-4)^2}{2} + 7(-4)\right] \] Calculando los valores: \[ = 0 - \left[8 - 28\right] = 0 + 20 = 20 \] Finalmente, sumamos ambas partes: \[ 3.5 + 20 = 23.5 \] Por lo tanto, el valor de la integral definida es \( 23.5 \).