Obtenga (a syte integial definida \( \left.\int_{-5}^{0}(3+\mid x+4)\right) d x \)

Dado el integral definido \[ \int_{-5}^{0}\left(3+\left|x+4\right|\right)dx, \] primero se debe notar que la función valor absoluto \(\left|x+4\right|\) cambia de definición en el punto en que \(x+4=0\), es decir, en \(x=-4\). Por ello, separamos el integral en dos intervalos: 1. Para \(x\) en \([-5,-4]\) se tiene \(x+4\leq0\), por lo que \(\left|x+4\right|=-(x+4)\). 2. Para \(x\) en \([-4,0]\) se tiene \(x+4\geq0\), por lo que \(\left|x+4\right|=x+4\). Así, escribimos el integral como: \[ \int_{-5}^{0}\left(3+\left|x+4\right|\right)dx = \int_{-5}^{-4}\left(3-(x+4)\right)dx + \int_{-4}^{0}\left(3+(x+4)\right)dx. \] ### Cálculo del primer integral Para \(x\) en \([-5, -4]\): \[ \int_{-5}^{-4}\left(3-(x+4)\right)dx = \int_{-5}^{-4}\left(3-x-4\right)dx = \int_{-5}^{-4}\left(-x-1\right)dx. \] Calculamos su antiderivada: \[ \int (-x-1)dx = -\frac{x^2}{2} - x + C. \] Evaluamos de \(x=-5\) a \(x=-4\): - En \(x=-4\): \[ -\frac{(-4)^2}{2} - (-4) = -\frac{16}{2} + 4 = -8+4 = -4. \] - En \(x=-5\): \[ -\frac{(-5)^2}{2} - (-5) = -\frac{25}{2} + 5 = -\frac{25}{2} + \frac{10}{2} = -\frac{15}{2}. \] La diferencia es: \[ \left[-4\right] - \left[-\frac{15}{2}\right] = -4 + \frac{15}{2} = \frac{-8+15}{2} = \frac{7}{2}. \] Por lo tanto, el valor del primer integral es \(\frac{7}{2}\). ### Cálculo del segundo integral Para \(x\) en \([-4, 0]\): \[ \int_{-4}^{0}\left(3+(x+4)\right)dx = \int_{-4}^{0}\left(x+7\right)dx. \] Calculamos su antiderivada: \[ \int (x+7)dx = \frac{x^2}{2} + 7x + C. \] Evaluamos de \(x=-4\) a \(x=0\): - En \(x=0\): \[ \frac{0^2}{2} + 7\cdot0 = 0. \] - En \(x=-4\): \[ \frac{(-4)^2}{2} + 7(-4)= \frac{16}{2} - 28 = 8 - 28 = -20. \] La diferencia es: \[ 0 - (-20) = 20. \] ### Sumando los resultados Finalmente, el integral total es: \[ \frac{7}{2} + 20 = \frac{7}{2} + \frac{40}{2} = \frac{47}{2}. \] Por lo tanto, el valor del integral definido es: \[ \frac{47}{2}. \]