Si impiega un capitale \( C \) per due anni nel regime composto, al tasso annuo \( i>0 \). Se il tasso fosse dimezzato, si percepirebbe un interesse complessivo pari al \( 49 \% \) del caso precedente. Trovare il tasso \( i \). \( \begin{array}{llll}\text { (a) } i=8,20 \% & \text { (b) } i=8,28 \% & \text { (c) } i=8,43 \% & \text { (d) } i=8,33 \%\end{array} \)

Per risolvere il problema, iniziamo a scrivere l'espressione per l'interesse composto. L'interesse totale percepito dopo due anni al tasso \( i \) sarà dato dalla formula: \[ I = C(1 + i)^2 - C = C[(1 + i)^2 - 1]. \] Se il tasso fosse dimezzato, quindi \( i/2 \), l'interesse totale percepito sarebbe: \[ I' = C(1 + i/2)^2 - C = C[(1 + i/2)^2 - 1]. \] Dalla condizione del problema, sappiamo che: \[ I' = 0.49 \cdot I. \] Sostituendo \( I \) e \( I' \), otteniamo: \[ C[(1 + i/2)^2 - 1] = 0.49 \cdot C[(1 + i)^2 - 1]. \] Eliminando \( C \) (supponendo \( C \neq 0 \)): \[ (1 + i/2)^2 - 1 = 0.49 \cdot [(1 + i)^2 - 1]. \] Semplificando ulteriormente: \[ (1 + i/2)^2 - 1 = (1 + i/2)^2 - 1 = \left(1 + i/2\right)^2 - 1 = \frac{i^2}{4} + i \rightarrow \text{espandiamo e semplifichiamo per trovare } i. \] Dopo aver calcolato entrambi i lati, possiamo risolvere l'equazione e trovare il valore di \( i \). Dopo calcoli mirati, si scopre che \( i \approx 8,33\% \). La risposta è quindi (d) \( i=8,33\% \).