Si impiega un capitale \( C \) per due anni nel regime composto, al tasso annuo \( i>0 \). Se il tasso fosse dimezzato, si percepirebbe un interesse complessivo pari al \( 49 \% \) del caso precedente. Trovare il tasso \( i \). \( \begin{array}{llll}\text { (a) } i=8,20 \% & \text { (b) } i=8,28 \% & \text { (c) } i=8,43 \% & \text { (d) } i=8,33 \%\end{array} \)

Indichiamo con C il capitale iniziale e con i il tasso annuo. Nel regime del interesse composto, al termine di 2 anni il montante è:   M = C · (1 + i)² L'interesse maturato è dunque:   I = C · [(1 + i)² – 1]. Se il tasso viene dimezzato, cioè diventa i/2, il montante dopo 2 anni diventa:   M₍dimezzato₎ = C · (1 + i/2)² e l'interesse acquisito è:   I' = C · [(1 + i/2)² – 1]. Secondo il problema, l'interesse ottenuto con il tasso dimezzato è pari al 49% (cioè 0,49 volte) dell'interesse ottenuto con il tasso i. Quindi:   (1 + i/2)² – 1 = 0,49 · [(1 + i)² – 1]. Procediamo con lo sviluppo dei termini. Si osserva che:   (1 + i/2)² = 1 + i + i²/4 quindi:   (1 + i/2)² – 1 = i + i²/4, e   (1 + i)² = 1 + 2i + i², quindi:   (1 + i)² – 1 = 2i + i². Pertanto, l'equazione diventa:   i + i²/4 = 0,49 · (2i + i²). Moltiplichiamo entrambi i lati per 4 per eliminare il denominatore:   4i + i² = 0,49 · (8i + 4i²). Eseguendo i calcoli sulla destra:   0,49 · 8i = 3,92i   0,49 · 4i² = 1,96i², quindi l’equazione si scrive:   4i + i² = 3,92i + 1,96i². Spostiamo tutti i termini a sinistra:   4i + i² – 3,92i – 1,96i² = 0, cioè:   (4i – 3,92i) + (i² – 1,96i²) = 0   0,08i – 0,96i² = 0. Fattorizzando i:   i (0,08 – 0,96i) = 0. Poiché i > 0, ne segue:   0,08 – 0,96i = 0 ⟹ 0,96i = 0,08 ⟹ i = 0,08/0,96 = 1/12 ≈ 0,08333. Convertendo in percentuale:   i ≈ 8,33%. Pertanto, la risposta corretta è la (d) i = 8,33%.