2. Катер прошёл 12 км против течения реки и 5 км по течению. При этом он затратил столько времени, сколько ему потребовалось бы, если бы он шёл 18 км по озеру. Какова собственная скорость катера, если известно, что скорость течения реки равна 3 км/ч.

Question

UpStudy AI · Accepted Answer

Рассмотрим задачу.

Пусть $$ v $$ – собственная скорость катера (в км/ч). Тогда при движении против течения эффективность составляет $$ v - 3 $$ км/ч, а по течению – $$ v + 3 $$ км/ч. Согласно условию, катер прошёл:

- 12 км против течения за время $$ \displaystyle \frac{12}{v-3} $$,
- 5 км по течению за время $$ \displaystyle \frac{5}{v+3} $$.

Также известно, что время, затраченное при движении по реке, равно времени, необходимому для прохождения 18 км по озеру (без влияния течения), то есть $$ \displaystyle \frac{18}{v} $$.

Составим уравнение:

$$
\frac{12}{v-3}+\frac{5}{v+3} = \frac{18}{v}
$$

Умножим обе стороны на $$ v(v-3)(v+3) $$, чтобы избавиться от знаменателей:

$$
12\,v(v+3) + 5\,v(v-3) = 18\,(v-3)(v+3)
$$

Выпишем подробно:

1. Раскроем скобки слева:
   $$
   12v(v+3) = 12v^2 + 36v,\quad 5v(v-3) = 5v^2 - 15v.
   $$
   Тогда сумма слева:
   $$
   12v^2 + 36v + 5v^2 - 15v = 17v^2 + 21v.
   $$

2. Справа упростим:
   $$
   (v-3)(v+3)=v^2-9,\quad \text{значит, } 18(v^2-9)=18v^2-162.
   $$

Уравнение принимает вид:

$$
17v^2 + 21v = 18v^2 - 162.
$$

Переносим все члены в одну сторону:

$$
0 = 18v^2 - 162 - 17v^2 - 21v,
$$
$$
0 = v^2 - 21v - 162.
$$

Получаем квадратное уравнение:

$$
v^2 - 21v - 162 = 0.
$$

Найдём дискриминант:

$$
\Delta = (-21)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-162) = 441 + 648 = 1089.
$$
$$
\sqrt{\Delta} = 33.
$$

Найдем корни:

$$
v = \frac{21 \pm 33}{2}.
$$

Вычислим:
- $$ v = \frac{21 + 33}{2} = \frac{54}{2} = 27 $$,
- $$ v = \frac{21 - 33}{2} = \frac{-12}{2} = -6 $$.

Так как скорость не может быть отрицательной, отбрасываем $$ v = -6 $$.

Таким образом, собственная скорость катера равна:

$$
\boxed{27 \text{ км/ч}}.
$$
Собственная скорость катера составляет 27 км/ч.

Solución de inteligencia artificial de Upstudy

Responder

Solución

Mind Expander

preguntas relacionadas

Latest Algebra Questions