Answer
L'equazione della parabola è \( y = x^2 - 3x + 5 \). La retta parallela all'asse \( y \) che interseca la parabola in \( P \) e la retta \( t \) in \( Q \), con area del triangolo \( PQT \) uguale a 108, ha l'equazione \( x = -5 \) o \( x = 1 \).
Solution
Iniziamo a risolvere il problema passo dopo passo.
### Passo 1: Determinare l'equazione della retta tangente \( t \)
Abbiamo una circonferenza con centro \( C(-2, 0) \) e un punto di tangente \( T(1, 3) \). La formula generale per una circonferenza è:
\[
(x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2
\]
dove \( (h, k) \) è il centro e \( r \) è il raggio. Prima di tutto, calcoliamo il raggio \( r \) della circonferenza:
\[
r = \sqrt{(1 - (-2))^2 + (3 - 0)^2} = \sqrt{(1 + 2)^2 + (3)^2} = \sqrt{3^2 + 3^2} = \sqrt{18} = 3\sqrt{2}
\]
L'equazione della circonferenza è quindi:
\[
(x + 2)^2 + y^2 = 18
\]
Ora, calcoliamo la pendenza della retta che passa per il centro \( C \) e il punto \( T \):
\[
m = \frac{y_T - y_C}{x_T - x_C} = \frac{3 - 0}{1 - (-2)} = \frac{3}{3} = 1
\]
La pendenza della retta tangente \( t \) sarà quindi l'opposto, poiché è perpendicolare:
\[
m_t = -1
\]
Utilizzando la forma punto-pendenza dell'equazione della retta, otteniamo:
\[
y - 3 = -1(x - 1) \implies y = -x + 4
\]
### Passo 2: Scrivere l'equazione della parabola
La parabola ha un asse di simmetria parallelo all'asse \( y \) e deve essere tangente alla retta \( t \) nel punto \( T(1, 3) \). L'equazione generale di una parabola con asse verticale è:
\[
y = ax^2 + bx + c
\]
Poiché la parabola è tangente alla retta \( t \) in \( T(1, 3) \), dobbiamo soddisfare le seguenti condizioni:
1. La parabola passa per \( T(1, 3) \).
2. La derivata della parabola in \( x = 1 \) deve essere uguale alla pendenza della retta \( t \), che è -1.
Sostituiamo \( T(1, 3) \) nell'equazione della parabola:
\[
3 = a(1)^2 + b(1) + c \implies 3 = a + b + c \quad (1)
\]
Calcoliamo la derivata della parabola:
\[
\frac{dy}{dx} = 2ax + b
\]
Imponiamo che la derivata in \( x = 1 \) sia -1:
\[
2a(1) + b = -1 \implies 2a + b = -1 \quad (2)
\]
### Passo 3: La parabola passa per il punto \( A(-1, 9) \)
Sostituiamo \( A(-1, 9) \) nell'equazione della parabola:
\[
9 = a(-1)^2 + b(-1) + c \implies 9 = a - b + c \quad (3)
\]
### Passo 4: Risolvere il sistema di equazioni
Abbiamo ora il seguente sistema di equazioni:
1. \( a + b + c = 3 \)
2. \( 2a + b = -1 \)
3. \( a - b + c = 9 \)
Risolvendo il sistema, iniziamo da (2):
\[
b = -1 - 2a
\]
Sostituiamo \( b \) in (1):
\[
a + (-1 - 2a) + c = 3 \implies -a + c = 4 \implies c = a + 4 \quad (4)
\]
Sostituiamo \( b \) e \( c \) in (3):
\[
a - (-1 - 2a) + (a + 4) = 9
\]
\[
a + 1 + 2a + a + 4 = 9 \implies 4a + 5 = 9 \implies 4a = 4 \implies a = 1
\]
Ora sostituiamo \( a \) per trovare \( b \) e \( c \):
\[
b = -1 - 2(1) = -3
\]
\[
c = 1 + 4 = 5
\]
L'equazione della parabola è quindi:
\[
y = x^2 - 3x + 5
\]
### Passo 5: Trovare la retta parallela all'asse \( y \)
La retta parallela all'asse \( y \) ha la forma \( x = k \). Dobbiamo trovare \( k \) tale che l'area del triangolo \( PQT \) sia 108.
L'area del triangolo è data da:
\[
\text{Area} = \frac{1}{2} \cdot \text{base} \cdot \text{altezza}
\]
Dove la base è la distanza tra i punti \( P \) e \( Q \) e l'altezza è la distanza verticale dal punto \( T \) alla retta.
Sappiamo che \( T(1, 3) \) e \( Q \) è sulla retta \( t \) quindi \( Q \) avrà coordinate \( (k, -k + 4) \).
Ora, calcoliamo le intersezioni della parabola con \( x = k \):
\[
y = k^2 - 3k + 5
\]
Quindi, le coordinate di \( P \) sono \( (k, k^2 - 3k + 5) \).
La base del triangolo è la distanza tra \( P \) e \( Q \):
\[
\text{base} = |k - 1|
\]
L'altezza è la distanza verticale tra \( T \) e la retta \( t \):
\[
\text{altezza} = |(k^2 - 3k + 5) - (4 - k)| = |k^2 - 3k + 5 - 4 + k| = |k^2 - 2k + 1| = |(k - 1)^2|
\]
L'area del triangolo div
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