B. (Valor \( 15 \%) \) Resuelva la siguiente operación, utilizando productos notables para los productos: \[ \left(3 x^{2}+2\right)\left(3 x^{2}-2\right)-\left(x^{2}-5\right)^{2}+(3-x)^{3} \]

A continuación se presenta una solución paso a paso utilizando productos notables. --- ### Paso 1. Calcular el primer producto notable La expresión original es: \[ \left(3 x^{2}+2\right)\left(3 x^{2}-2\right)-\left(x^{2}-5\right)^{2}+(3-x)^{3} \] Observa que el primer producto es de la forma \(\left(a+b\right)\left(a-b\right)\), donde \(a=3x^2\) y \(b=2\). Recordamos que: \[ \left(a+b\right)\left(a-b\right)=a^2-b^2. \] Por lo tanto: \[ \left(3x^2+2\right)\left(3x^2-2\right) = \left(3x^2\right)^2-2^2 = 9x^4-4. \] --- ### Paso 2. Expandir y simplificar el segundo término El segundo término es: \[ \left(x^{2}-5\right)^{2}. \] Utilizamos la fórmula del cuadrado de una diferencia: \[ (a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2, \] donde \(a=x^2\) y \(b=5\). Entonces: \[ \left(x^2-5\right)^2 = \left(x^2\right)^2 - 2\cdot x^2\cdot 5 + 5^2 = x^4 - 10x^2 + 25. \] --- ### Paso 3. Expandir el tercer término El tercer término es: \[ (3-x)^3. \] Utilizamos la fórmula del cubo de una diferencia: \[ (a-b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3, \] con \(a=3\) y \(b=x\). Así: \[ (3-x)^3 = 3^3 - 3\cdot 3^2 \cdot x + 3\cdot 3 \cdot x^2 - x^3 = 27 - 27x + 9x^2 - x^3. \] --- ### Paso 4. Sustituir y combinar términos Reemplazamos cada parte en la expresión original: \[ 9x^4 - 4 - \left(x^4 - 10x^2 + 25\right) + \left(27 - 27x+9x^2-x^3\right). \] Distribuimos el signo negativo en el segundo término: \[ 9x^4 - 4 - x^4 + 10x^2 - 25 + 27 - 27x+9x^2-x^3. \] Agrupamos términos semejantes: 1. Términos en \(x^4\): \[ 9x^4 - x^4 = 8x^4. \] 2. Términos en \(x^3\): \[ -x^3. \] 3. Términos en \(x^2\): \[ 10x^2 + 9x^2 = 19x^2. \] 4. Términos en \(x\): \[ -27x. \] 5. Términos constantes: \[ -4 - 25 + 27 = -2. \] --- ### Paso 5. Escribir el resultado final La expresión simplificada queda: \[ 8x^4 - x^3 + 19x^2 - 27x - 2. \] --- ### Respuesta Final La operación resuelta es: \[ \boxed{8x^4 - x^3 + 19x^2 - 27x - 2.} \]