\( 21 P \) et \( Q \) sont deux polynômes définis par : \( P(x)=x^{4}-4 x^{3}+3 x^{2}+4 x-4 \) et \( Q(x)=x^{3}+a x^{2}+b x+c ; a, b \) et \( c \) sont des réels. \( 1^{\circ} \) Calculer \( P(2) \). En déduire que \( P(x)=(x-2) Q(x) \) en calculant \( a, b \) et \( c \). \( 2^{\circ} \) Pour les valeurs trouvées de \( a, b \) et \( c \) vérifier que 2 est une racine de \( Q \). En déduíre une factorisation de \( P(x) \). \( 3^{\circ} \) Résoudre \( Q(x)=x^{2}-1 \). \( 4^{\circ} \) Résoudre \( P(x)<0 \).

1. Calcul de \(P(2)\) et détermination de \(Q(x)\) On a \[ P(x)=x^4-4x^3+3x^2+4x-4. \] Calculons \(P(2)\) : \[ P(2)=2^4-4(2^3)+3(2^2)+4(2)-4=16-32+12+8-4=0. \] Comme \(P(2)=0\), d'après le théorème du reste, \((x-2)\) est un facteur de \(P(x)\) et donc il existe un polynôme \(Q\) de degré 3 tel que \[ P(x)=(x-2)Q(x), \] avec \[ Q(x)=x^3+ax^2+bx+c. \] Pour déterminer \(a\), \(b\) et \(c\), développons \[ (x-2)(x^3+ax^2+bx+c)=x^4+ax^3+bx^2+cx-2x^3-2ax^2-2bx-2c. \] En regroupant les termes de même degré : \[ P(x)=x^4+(a-2)x^3+(b-2a)x^2+(c-2b)x-2c. \] En comparant avec \[ P(x)=x^4-4x^3+3x^2+4x-4, \] on obtient le système suivant : - Pour \(x^3\) : \[ a-2=-4\quad\Rightarrow\quad a=-2. \] - Pour \(x^2\) : \[ b-2a=3\quad\Rightarrow\quad b-2(-2)=3\quad\Rightarrow\quad b+4=3\quad\Rightarrow\quad b=-1. \] - Pour \(x\) : \[ c-2b=4\quad\Rightarrow\quad c-2(-1)=4\quad\Rightarrow\quad c+2=4\quad\Rightarrow\quad c=2. \] - Pour la constante : \[ -2c=-4\quad\Rightarrow\quad c=2, \] ce qui confirme la valeur trouvée. Ainsi, \[ Q(x)=x^3-2x^2-x+2. \] 2. Vérification que 2 est une racine de \(Q\) et factorisation de \(P(x)\) Vérifions que \(Q(2)=0\) : \[ Q(2)=2^3-2(2^2)-2+2=8-8-2+2=0. \] On en déduit que \((x-2)\) est aussi un facteur de \(Q(x)\). Pour factoriser \(Q(x)\) par \((x-2)\), on effectue une division synthétique ou classique et on trouve, \[ Q(x)=(x-2)(x^2-1). \] Or, \[ x^2-1=(x-1)(x+1). \] La factorisation complète de \(P(x)\) est alors : \[ P(x)=(x-2)Q(x)=(x-2)^2(x-1)(x+1). \] 3. Résolution de l'équation \(Q(x)=x^2-1\) On a \[ Q(x)=x^3-2x^2-x+2. \] L'équation à résoudre est \[ x^3-2x^2-x+2 = x^2-1. \] On ramène tous les termes d'un côté : \[ x^3-2x^2-x+2-x^2+1= x^3-3x^2-x+3=0. \] Pour factoriser \(x^3-3x^2-x+3\), on cherche une racine entière. On teste \(x=1\) : \[ 1-3-1+3=0. \] Donc \(x=1\) est racine et \((x-1)\) est facteur. On divise \[ x^3-3x^2-x+3=(x-1)(x^2-2x-3). \] L'équation \(x^2-2x-3=0\) se résout par la formule quadratique : \[ x=\frac{2\pm\sqrt{4+12}}{2}=\frac{2\pm4}{2}. \] Ce qui donne \[ x=3\quad\text{ou}\quad x=-1. \] Ainsi, les solutions de \(Q(x)=x^2-1\) sont \[ x=-1,\quad x=1,\quad x=3. \] 4. Résolution de l'inéquation \(P(x)<0\) La factorisation de \(P(x)\) obtenue est \[ P(x)=(x-2)^2(x-1)(x+1). \] Le facteur \((x-2)^2\) est toujours positif (ou nul pour \(x=2\)). L'inéquation \[ P(x)<0 \] dépend donc du produit \[ (x-1)(x+1)<0. \] Le produit \((x-1)(x+1)\) est négatif lorsque les deux facteurs sont de signes opposés. - \(x-1<0\) et \(x+1>0\) \(\Rightarrow x<1\) et \(x>-1\), c'est-à-dire \(x\in(-1,1)\). Pour \(x=-1\) ou \(x=1\), le produit est nul et donc \(P(x)=0\). Ainsi, \[ P(x)<0\quad\text{si et seulement si}\quad x\in(-1,1). \]