413 Considera il triangolo di vertici $$ A(-1,-1), B(0,2) $$ e $$ C(3,1) $$. a. Verifica che è isoscele e determina il suo perimetro e la sua area. b. Stabilisci se il triangolo è rettangolo. c. Determina le equazioni delle rette che contengono i suoi lati. d. Determina l'equazione della retta che contiene l'al- tezza relativa all'ipotenusa.

Question

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Per risolvere il problema, seguiamo i vari punti richiesti.

### a. Verifica che il triangolo è isoscele e determina il suo perimetro e la sua area.

1. **Calcolo delle lunghezze dei lati**:
   - Lato $$ AB $$:
     $$
     d_{AB} = \sqrt{(0 - (-1))^2 + (2 - (-1))^2} = \sqrt{(1)^2 + (3)^2} = \sqrt{1 + 9} = \sqrt{10}
     $$
   - Lato $$ BC $$:
     $$
     d_{BC} = \sqrt{(3 - 0)^2 + (1 - 2)^2} = \sqrt{(3)^2 + (-1)^2} = \sqrt{9 + 1} = \sqrt{10}
     $$
   - Lato $$ CA $$:
     $$
     d_{CA} = \sqrt{(3 - (-1))^2 + (1 - (-1))^2} = \sqrt{(4)^2 + (2)^2} = \sqrt{16 + 4} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}
     $$

2. **Verifica se il triangolo è isoscele**:
   Poiché $$ d_{AB} = d_{BC} = \sqrt{10} $$, il triangolo è isoscele.

3. **Calcolo del perimetro**:
   $$
   P = d_{AB} + d_{BC} + d_{CA} = \sqrt{10} + \sqrt{10} + 2\sqrt{5} = 2\sqrt{10} + 2\sqrt{5}
   $$

4. **Calcolo dell'area** usando la formula di Erone:
   - Semiperimetro $$ s $$:
     $$
     s = \frac{P}{2} = \frac{2\sqrt{10} + 2\sqrt{5}}{2} = \sqrt{10} + \sqrt{5}
     $$
   - Area $$ A $$:
     $$
     A = \sqrt{s(s - d_{AB})(s - d_{BC})(s - d_{CA})}
     $$
     Calcoliamo i termini:
     $$
     s - d_{AB} = \sqrt{10} + \sqrt{5} - \sqrt{10} = \sqrt{5}
     $$
     $$
     s - d_{BC} = \sqrt{10} + \sqrt{5} - \sqrt{10} = \sqrt{5}
     $$
     $$
     s - d_{CA} = \sqrt{10} + \sqrt{5} - 2\sqrt{5} = \sqrt{10} - \sqrt{5}
     $$
     Ora calcoliamo l'area:
     $$
     A = \sqrt{(\sqrt{10} + \sqrt{5})(\sqrt{5})(\sqrt{5})(\sqrt{10} - \sqrt{5})}
     $$

### b. Stabilisci se il triangolo è rettangolo.

Per verificare se il triangolo è rettangolo, controlliamo se il teorema di Pitagora è soddisfatto:
$$
d_{AB}^2 + d_{BC}^2 = d_{CA}^2
$$
Calcoliamo:
$$
(\sqrt{10})^2 + (\sqrt{10})^2 = (2\sqrt{5})^2
$$
$$
10 + 10 = 20
$$
Poiché l'uguaglianza è vera, il triangolo è rettangolo.

### c. Determina le equazioni delle rette che contengono i suoi lati.

1. **Retta $$ AB $$**:
   - Pendenza $$ m_{AB} = \frac{2 - (-1)}{0 - (-1)} = \frac{3}{1} = 3 $$
   - Equazione: $$ y - (-1) = 3(x - (-1)) $$ → $$ y = 3x + 2 $$

2. **Retta $$ BC $$**:
   - Pendenza $$ m_{BC} = \frac{1 - 2}{3 - 0} = \frac{-1}{3} $$
   - Equazione: $$ y - 2 = -\frac{1}{3}(x - 0) $$ → $$ y = -\frac{1}{3}x + 2 $$

3. **Retta $$ CA $$**:
   - Pendenza $$ m_{CA} = \frac{1 - (-1)}{3 - (-1)} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2} $$
   - Equazione: $$ y - (-1) = \frac{1}{2}(x - (-1)) $$ → $$ y = \frac{1}{2}x - \frac{1}{2} $$

### d. Determina l'equazione della retta che contiene l'altezza relativa all'ipotenusa.

L'ipotenusa è il lato $$ CA $$. La pendenza della retta $$ CA $$ è $$ \frac{1}{2} $$, quindi la pendenza dell'altezza sarà l'opposto e il reciproco, cioè $$ -2 $$.

L'altezza parte dal vertice $$ B(0, 2) $$:
$$
y - 2 = -2(x - 0) \rightarrow y = -2x + 2
$$

### Risultati finali:
- **Perimetro**: $$ 2\sqrt{10} + 2\sqrt{5} $$
- **Area**: $$ A = \sqrt{(\sqrt{10} + \sqrt{5})(\sqrt{5})(\sqrt{5})(\sqrt{10} - \sqrt{5})} $$
- **Equazioni delle rette**:
  - $$ AB: y = 3x + 2 $$
  - $$ BC: y = -\frac{1}{3}x + 2 $$
  - $$ CA: y = \frac{1}{2}x - \frac{1}{2} $$
- **Equazione dell'altezza**: $$ y = -2x + 2 $$
Il triangolo $$ ABC $$ è isoscele con lati $$ AB = BC = \sqrt{10} $$ e $$ CA = 2\sqrt{5} $$. Il perimetro è $$ 2\sqrt{10} + 2\sqrt{5} $$ e l'area è $$ \sqrt{(\sqrt{10} + \sqrt{5})(\sqrt{5})(\sqrt{5})(\sqrt{10} - \sqrt{5})} $$. Il triangolo è rettangolo. Le equazioni delle rette che contengono i lati sono: - $$ AB: y = 3x + 2 $$ - $$ BC: y = -\frac{1}{3}x + 2 $$ - $$ CA: y = \frac{1}{2}x - \frac{1}{2} $$ L'altezza relativa all'ipotenusa è $$ y = -2x + 2 $$.

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