413 Considera il triangolo di vertici \( A(-1,-1), B(0,2) \) e \( C(3,1) \). a. Verifica che è isoscele e determina il suo perimetro e la sua area. b. Stabilisci se il triangolo è rettangolo. c. Determina le equazioni delle rette che contengono i suoi lati. d. Determina l'equazione della retta che contiene l'al- tezza relativa all'ipotenusa.

Per risolvere il problema, seguiamo i vari punti richiesti. ### a. Verifica che il triangolo è isoscele e determina il suo perimetro e la sua area. 1. **Calcolo delle lunghezze dei lati**: - Lato \( AB \): \[ d_{AB} = \sqrt{(0 - (-1))^2 + (2 - (-1))^2} = \sqrt{(1)^2 + (3)^2} = \sqrt{1 + 9} = \sqrt{10} \] - Lato \( BC \): \[ d_{BC} = \sqrt{(3 - 0)^2 + (1 - 2)^2} = \sqrt{(3)^2 + (-1)^2} = \sqrt{9 + 1} = \sqrt{10} \] - Lato \( CA \): \[ d_{CA} = \sqrt{(3 - (-1))^2 + (1 - (-1))^2} = \sqrt{(4)^2 + (2)^2} = \sqrt{16 + 4} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5} \] 2. **Verifica se il triangolo è isoscele**: Poiché \( d_{AB} = d_{BC} = \sqrt{10} \), il triangolo è isoscele. 3. **Calcolo del perimetro**: \[ P = d_{AB} + d_{BC} + d_{CA} = \sqrt{10} + \sqrt{10} + 2\sqrt{5} = 2\sqrt{10} + 2\sqrt{5} \] 4. **Calcolo dell'area** usando la formula di Erone: - Semiperimetro \( s \): \[ s = \frac{P}{2} = \frac{2\sqrt{10} + 2\sqrt{5}}{2} = \sqrt{10} + \sqrt{5} \] - Area \( A \): \[ A = \sqrt{s(s - d_{AB})(s - d_{BC})(s - d_{CA})} \] Calcoliamo i termini: \[ s - d_{AB} = \sqrt{10} + \sqrt{5} - \sqrt{10} = \sqrt{5} \] \[ s - d_{BC} = \sqrt{10} + \sqrt{5} - \sqrt{10} = \sqrt{5} \] \[ s - d_{CA} = \sqrt{10} + \sqrt{5} - 2\sqrt{5} = \sqrt{10} - \sqrt{5} \] Ora calcoliamo l'area: \[ A = \sqrt{(\sqrt{10} + \sqrt{5})(\sqrt{5})(\sqrt{5})(\sqrt{10} - \sqrt{5})} \] ### b. Stabilisci se il triangolo è rettangolo. Per verificare se il triangolo è rettangolo, controlliamo se il teorema di Pitagora è soddisfatto: \[ d_{AB}^2 + d_{BC}^2 = d_{CA}^2 \] Calcoliamo: \[ (\sqrt{10})^2 + (\sqrt{10})^2 = (2\sqrt{5})^2 \] \[ 10 + 10 = 20 \] Poiché l'uguaglianza è vera, il triangolo è rettangolo. ### c. Determina le equazioni delle rette che contengono i suoi lati. 1. **Retta \( AB \)**: - Pendenza \( m_{AB} = \frac{2 - (-1)}{0 - (-1)} = \frac{3}{1} = 3 \) - Equazione: \( y - (-1) = 3(x - (-1)) \) → \( y = 3x + 2 \) 2. **Retta \( BC \)**: - Pendenza \( m_{BC} = \frac{1 - 2}{3 - 0} = \frac{-1}{3} \) - Equazione: \( y - 2 = -\frac{1}{3}(x - 0) \) → \( y = -\frac{1}{3}x + 2 \) 3. **Retta \( CA \)**: - Pendenza \( m_{CA} = \frac{1 - (-1)}{3 - (-1)} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2} \) - Equazione: \( y - (-1) = \frac{1}{2}(x - (-1)) \) → \( y = \frac{1}{2}x - \frac{1}{2} \) ### d. Determina l'equazione della retta che contiene l'altezza relativa all'ipotenusa. L'ipotenusa è il lato \( CA \). La pendenza della retta \( CA \) è \( \frac{1}{2} \), quindi la pendenza dell'altezza sarà l'opposto e il reciproco, cioè \( -2 \). L'altezza parte dal vertice \( B(0, 2) \): \[ y - 2 = -2(x - 0) \rightarrow y = -2x + 2 \] ### Risultati finali: - **Perimetro**: \( 2\sqrt{10} + 2\sqrt{5} \) - **Area**: \( A = \sqrt{(\sqrt{10} + \sqrt{5})(\sqrt{5})(\sqrt{5})(\sqrt{10} - \sqrt{5})} \) - **Equazioni delle rette**: - \( AB: y = 3x + 2 \) - \( BC: y = -\frac{1}{3}x + 2 \) - \( CA: y = \frac{1}{2}x - \frac{1}{2} \) - **Equazione dell'altezza**: \( y = -2x + 2 \)