2. Zapiši enačbo hiperbole, če sta njeni asimptoti premici $$ y= \pm 2 x $$ in ima eno od temen v točki $$ A(0,4) $$. Hiperbolo tudi nariši ter zapiši koordinate gorišč.

Question

UpStudy AI · Accepted Answer

1. Naj izberemo standardni obliki hiperbole s središčem v izhodišču:
$$
\frac{y^2}{a^2} - \frac{x^2}{b^2} = 1.
$$

2. Pri tej obliki so temena (vrhovi) dane s koordinatami:
$$
(0, \pm a).
$$
Ker je eno temeno $$ A(0,4) $$, dobimo:
$$
a = 4.
$$

3. Asimptoti hiperbole so dane z enačbama:
$$
y = \pm \frac{a}{b} x.
$$
Podano sta asimptoti $$ y=\pm 2x $$, zato imamo:
$$
\frac{4}{b} = 2 \quad \Rightarrow \quad b = 2.
$$

4. Tako je enačba hiperbole:
$$
\frac{y^2}{16} - \frac{x^2}{4} = 1.
$$

5. Koordinate gorišč določimo s formulo:
$$
c^2 = a^2 + b^2.
$$
Izračunamo:
$$
c^2 = 16 + 4 = 20 \quad \Rightarrow \quad c = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}.
$$
Ker je hiperbola vertikalno usmerjena, so gorišča:
$$
(0, 2\sqrt{5}) \quad \text{in} \quad (0, -2\sqrt{5}).
$$

6. Risba hiperbole:
   - Središče hiperbole je $$ (0,0) $$.
   - Temena sta $$ (0,4) $$ in $$ (0,-4) $$.
   - Asimptote: premici $$ y = 2x $$ in $$ y = -2x $$.
   - Gorišča sta $$ (0, 2\sqrt{5}) $$ in $$ (0, -2\sqrt{5}) $$.

Končna rešitev:
$$
\textbf{Enačba hiperbole: } \frac{y^2}{16} - \frac{x^2}{4} = 1,
$$
$$
\textbf{Gorišča: } (0, 2\sqrt{5}) \text{ in } (0, -2\sqrt{5}).
$$
The equation of the hyperbola is $$ \frac{y^2}{16} - \frac{x^2}{4} = 1 $$. The hyperbola has vertices at $$ (0, 4) $$ and $$ (0, -4) $$, and its foci are at $$ (0, 2\sqrt{5}) $$ and $$ (0, -2\sqrt{5}) $$.

Zapiši enačbo hiperbole, če sta njeni asimptoti premici in ima eno od temen
v točki . Hiperbolo tudi nariši ter zapiši koordinate gorišč.

Upstudy AI Solution

Answer

Solution

Bonus Knowledge

Related Questions

Latest Pre Calculus Questions

Zapiši enačbo hiperbole, če sta njeni asimptoti premici in ima eno od temen v točki . Hiperbolo tudi nariši ter zapiši koordinate gorišč.