Question
03. Encuentre una ecuación de la recta tangente a \( y=x^{2} \), en el punto \( P(1,1) \).
Ask by Reed Stuart. in Mexico
Feb 20,2025
Upstudy AI Solution
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Answer
La ecuación de la recta tangente a \( y = x^{2} \) en el punto \( P(1,1) \) es \( y = 2x - 1 \).
Solution
Para encontrar la recta tangente a la curva y = x² en el punto P(1,1), seguimos estos pasos:
1. Derivamos la función para obtener la pendiente de la tangente. La derivada de y = x² es:
dy/dx = 2x
2. Evaluamos la derivada en x = 1 para hallar la pendiente m:
m = 2(1) = 2
3. Utilizamos la fórmula punto-pendiente para la recta:
y - y₁ = m(x - x₁)
Sustituyendo el punto P(1,1) y la pendiente m = 2:
y - 1 = 2(x - 1)
4. Simplificamos la ecuación:
y - 1 = 2x - 2
y = 2x - 2 + 1
y = 2x - 1
Por lo tanto, la ecuación de la recta tangente a la curva y = x² en el punto (1,1) es:
y = 2x - 1.
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Para encontrar la ecuación de la recta tangente a la curva \( y=x^{2} \) en el punto \( P(1,1) \), primero necesitamos calcular la derivada de \( y \) con respecto a \( x \). La derivada es \( y' = 2x \). Evaluando la derivada en \( x=1 \), obtenemos \( y'(1) = 2(1) = 2 \), que es la pendiente de la tangente. Ahora, podemos usar la fórmula de la ecuación de la recta: \( y - y_1 = m(x - x_1) \), donde \( (x_1, y_1) \) es el punto \( P(1, 1) \) y \( m \) es la pendiente. Sustituyendo, obtenemos: \( y - 1 = 2(x - 1) \) o \( y = 2x - 1 \). Así que la ecuación de la recta tangente es \( y = 2x - 1 \). ¡Sencillo, verdad!
