03. Encuentre una ecuación de la recta tangente a \( y=x^{2} \), en el punto \( P(1,1) \).

Para encontrar la ecuación de la recta tangente a la curva \( y=x^{2} \) en el punto \( P(1,1) \), primero necesitamos calcular la derivada de \( y \) con respecto a \( x \). La derivada es \( y' = 2x \). Evaluando la derivada en \( x=1 \), obtenemos \( y'(1) = 2(1) = 2 \), que es la pendiente de la tangente. Ahora, podemos usar la fórmula de la ecuación de la recta: \( y - y_1 = m(x - x_1) \), donde \( (x_1, y_1) \) es el punto \( P(1, 1) \) y \( m \) es la pendiente. Sustituyendo, obtenemos: \( y - 1 = 2(x - 1) \) o \( y = 2x - 1 \). Así que la ecuación de la recta tangente es \( y = 2x - 1 \). ¡Sencillo, verdad!