\( \left(a^{2}+4 a^{3}-2\right):\left(a^{2}-1\right) \) b. Verifica che il quoziente e il resto trovati al punto a siano corretti.

Determiniamo il quoziente e il resto della divisione fra i polinomi \[ \frac{4a^3+a^2-2}{a^2-1}. \] In questo caso scriviamo il dividendo in ordine decrescente di grado: \[ 4a^3 + a^2 - 2, \] e il divisore \[ a^2-1. \] ### Passo 1: Prima divisione Dividiamo il termine di grado più alto del dividendo per il termine di grado più alto del divisore: \[ \frac{4a^3}{a^2} = 4a. \] Quindi, il primo termine del quoziente è \(4a\). Moltiplichiamo \(4a\) per il divisore: \[ 4a \cdot (a^2-1) = 4a^3 - 4a. \] Sottraiamo questo risultato dal dividendo: \[ (4a^3 + a^2 - 2) - (4a^3 - 4a) = a^2 + 4a - 2. \] ### Passo 2: Seconda divisione Adesso dividiamo il nuovo dividendo \(a^2+4a-2\) per il divisore \(a^2-1\). Dividiamo il termine principale \(a^2\) per il termine principale \(a^2\): \[ \frac{a^2}{a^2} = 1. \] Il secondo termine del quoziente è \(1\). Moltiplichiamo \(1\) per il divisore: \[ 1 \cdot (a^2-1) = a^2 - 1. \] Sottraiamo questo dal dividendo parziale: \[ (a^2+4a-2) - (a^2-1) = 4a - 1. \] ### Conclusione La divisione si conclude qui in quanto il resto \(4a-1\) ha grado \(1\), che è minore del grado del divisore (grado \(2\)). Quindi troviamo: - Quoziente: \(4a+1\) - Resto: \(4a-1\) ### Verifica della divisione Verifichiamo il risultato controllando che \[ \text{Dividendo} = (\text{Divisore}) \cdot (\text{Quoziente}) + \text{Resto}. \] Calcoliamo: \[ (a^2-1)(4a+1) + (4a-1). \] Prima moltiplichiamo: \[ (a^2-1)(4a+1) = 4a^3 + a^2 - 4a - 1. \] Poi aggiungiamo il resto: \[ 4a^3 + a^2 - 4a - 1 + 4a - 1 = 4a^3 + a^2 - 2. \] Questo risultato coincide con il dividendo iniziale (\(4a^3+a^2-2\)), confermando che il quoziente e il resto trovati sono corretti.