5. Halla el entero positivo \( n \) que satisface la igualdad \( \sum_{k=1}^{n} k=820 \).

Para encontrar el entero positivo \( n \) que satisface la ecuación \( \sum_{k=1}^{n} k = 820 \), recordemos la fórmula de la suma de los primeros \( n \) números enteros: \[ \sum_{k=1}^{n} k = \frac{n(n + 1)}{2}. \] Igualando esto a 820, obtenemos: \[ \frac{n(n + 1)}{2} = 820. \] Multiplicando ambos lados por 2, tenemos: \[ n(n + 1) = 1640. \] Ahora, buscamos dos números consecutivos que multiplicados den 1640. Esto se puede transformar en la ecuación cuadrática: \[ n^2 + n - 1640 = 0. \] Usamos la fórmula cuadrática: \[ n = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}, \] donde \( a = 1 \), \( b = 1 \) y \( c = -1640 \). Esto nos da: \[ n = \frac{-1 \pm \sqrt{1 + 6560}}{2} = \frac{-1 \pm \sqrt{6561}}{2} = \frac{-1 \pm 81}{2}. \] De aquí, obtenemos dos soluciones: \( n = \frac{80}{2} = 40 \) y \( n = \frac{-82}{2} \) (que no es válida porque queremos un número positivo). Así que el entero positivo que satisface la igualdad es \( n = 40 \).