5. Halla el entero positivo $$ n $$ que satisface la igualdad $$ \sum_{k=1}^{n} k=820 $$.

Question

UpStudy AI · Accepted Answer

Sea la suma de los primeros $$ n $$ enteros:
$$
\sum_{k=1}^{n} k = \frac{n(n+1)}{2}
$$
La igualdad dada es:
$$
\frac{n(n+1)}{2} = 820
$$
Multiplicamos ambos lados de la ecuación por 2 para eliminar el denominador:
$$
n(n+1) = 1640
$$
Expandiendo:
$$
n^2 + n - 1640 = 0
$$
Esta es una ecuación cuadrática de la forma $$ an^2+bn+c=0 $$ con $$ a=1 $$, $$ b=1 $$ y $$ c=-1640 $$.

El discriminante se calcula como:
$$
\Delta = b^2 - 4ac = 1^2 - 4(1)(-1640) = 1 + 6560 = 6561
$$
Como $$\Delta = 6561$$ y $$\sqrt{6561} = 81$$, las soluciones de la cuadrática son:
$$
n = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{-1 \pm 81}{2}
$$
Obtenemos dos posibles valores:
$$
n = \frac{-1 + 81}{2} = \frac{80}{2} = 40 \quad \text{y} \quad n = \frac{-1 - 81}{2} = \frac{-82}{2} = -41
$$
Como $$ n $$ es un entero positivo, descartamos la solución negativa y obtenemos:
$$
n = 40
$$
El entero positivo $$ n $$ que satisface la igualdad $$ \sum_{k=1}^{n} k = 820 $$ es $$ n = 40 $$.

5. Halla el entero positivo \( n \) que satisface la igualdad \( \sum_{k=1}^{n} k=820 \).

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