b) \( \int \frac{\sqrt{x}-1}{1+\sqrt{x}} \)

Para resolver la integral \( \int \frac{\sqrt{x}-1}{1+\sqrt{x}} \, dx \), podemos simplificar la expresión en el integrando. Primero, hagamos un cambio de variable. Sea \( u = \sqrt{x} \), entonces \( x = u^2 \) y \( dx = 2u \, du \). Sustituyendo en la integral, tenemos: \[ \int \frac{u-1}{1+u} \cdot 2u \, du = 2 \int \frac{u(u-1)}{1+u} \, du \] Ahora, simplificamos el integrando: \[ \frac{u(u-1)}{1+u} = \frac{u^2 - u}{1 + u} \] Podemos dividir el numerador: \[ \frac{u^2 - u}{1 + u} = \frac{u^2}{1 + u} - \frac{u}{1 + u} \] Ahora, podemos integrar cada término por separado: 1. Para \( \int \frac{u^2}{1 + u} \, du \), podemos usar la división de polinomios: \[ \frac{u^2}{1 + u} = u - 1 + \frac{1}{1 + u} \] Entonces, la integral se convierte en: \[ \int \left( u - 1 + \frac{1}{1 + u} \right) \, du = \int u \, du - \int 1 \, du + \int \frac{1}{1 + u} \, du \] Calculamos cada integral: - \( \int u \, du = \frac{u^2}{2} \) - \( \int 1 \, du = u \) - \( \int \frac{1}{1 + u} \, du = \ln |1 + u| \) Por lo tanto, tenemos: \[ \int \frac{u^2}{1 + u} \, du = \frac{u^2}{2} - u + \ln |1 + u| \] 2. Para el segundo término \( -\int \frac{u}{1 + u} \, du \), podemos usar la misma técnica de división: \[ \frac{u}{1 + u} = 1 - \frac{1}{1 + u} \] Entonces, la integral se convierte en: \[ -\int \left( 1 - \frac{1}{1 + u} \right) \, du = -\int 1 \, du + \int \frac{1}{1 + u} \, du = -u + \ln |1 + u| \] Sumando ambas integrales, tenemos: \[ \int \frac{u(u-1)}{1+u} \, du = \left( \frac{u^2}{2} - u + \ln |1 + u| \right) + \left( -u + \ln |1 + u| \right) \] Simplificando: \[ = \frac{u^2}{2} - 2u + 2\ln |1 + u| \] Finalmente, multiplicamos por 2 (debido al factor de 2 que sacamos al principio): \[ 2 \left( \frac{u^2}{2} - 2u + 2\ln |1 + u| \right) = u^2 - 4u + 4\ln |1 + u| \] Ahora, regresamos a la variable original \( u = \sqrt{x} \): \[ = (\sqrt{x})^2 - 4\sqrt{x} + 4\ln |1 + \sqrt{x}| = x - 4\sqrt{x} + 4\ln |1 + \sqrt{x}| \] Finalmente, no olvidemos añadir la constante de integración \( C \): \[ \int \frac{\sqrt{x}-1}{1+\sqrt{x}} \, dx = x - 4\sqrt{x} + 4\ln |1 + \sqrt{x}| + C \]