$$ 2 \left\{ \begin{array} { l } { \frac { y _ { 1 } + 4 x } { 3 } = 1 } \ { 2 x + y _ { 2 } - 3 = 0 } \end{array} ight. $$

Question

$$ 2 \left\{ \begin{array} { l } { \frac { y _ { 1 } + 4 x } { 3 } = 1 } \ { 2 x + y _ { 2 } - 3 = 0 } \end{array} ight. $$

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Solve the system of equations by following steps:
- step0: Solve using the substitution method:
  $$\left\{ \begin{array}{l}\frac{y_{1}+4x}{3}=1\2x+y_{2}-3=0\end{array}\right.$$
- step1: Solve the equation:
  $$\left\{ \begin{array}{l}\frac{y_{1}+4x}{3}=1\y_{2}=-2x+3\end{array}\right.$$
- step2: Substitute the value of $$y_{2}:$$
  $$\frac{y_{1}+4x}{3}=1$$
- step3: Cross multiply:
  $$y_{1}+4x=3$$
- step4: Move the constant to the right side:
  $$4x=3-y_{1}$$
- step5: Divide both sides:
  $$\frac{4x}{4}=\frac{3-y_{1}}{4}$$
- step6: Divide the numbers:
  $$x=\frac{3-y_{1}}{4}$$
- step7: Substitute the value of $$x:$$
  $$y_{2}=-2\times \frac{3-y_{1}}{4}+3$$
- step8: Simplify:
  $$y_{2}=\frac{3+y_{1}}{2}$$
- step9: Calculate:
  $$\left(x,y_{1},y_{2}\right) = \left(\frac{3-y_{1}}{4},y_{1},\frac{3+y_{1}}{2}\right),y_{1} \in \mathbb{R}$$
- step10: Alternative Form:
  $$\textrm{Infinitely many solutions}$$
El sistema de ecuaciones que has proporcionado es:

$$
\begin{cases}
\frac{y_{1} + 4x}{3} = 1 \
2x + y_{2} - 3 = 0
\end{cases}
$$

Al resolver este sistema, encontramos que tiene **infinitas soluciones**. Esto significa que hay un conjunto de valores para $$x$$, $$y_{1}$$ y $$y_{2}$$ que satisfacen ambas ecuaciones simultáneamente.

Para entender mejor, podemos expresar $$y_{1}$$ y $$y_{2}$$ en términos de $$x$$:

1. De la primera ecuación:
   $$
   y_{1} + 4x = 3 \implies y_{1} = 3 - 4x
   $$

2. De la segunda ecuación:
   $$
   2x + y_{2} = 3 \implies y_{2} = 3 - 2x
   $$

Por lo tanto, las soluciones del sistema se pueden expresar como:
$$
\begin{cases}
y_{1} = 3 - 4x \
y_{2} = 3 - 2x
\end{cases}
$$
donde $$x$$ puede tomar cualquier valor real.
El sistema de ecuaciones tiene infinitas soluciones, que se pueden expresar como $$ y_{1} = 3 - 4x $$ y $$ y_{2} = 3 - 2x $$ para cualquier valor de $$ x $$.

\( 2 \left\{ \begin{array} { l } { \frac { y _ { 1 } + 4 x } { 3 } = 1 } \\ { 2 x + y _ { 2 } - 3 = 0 } \end{array} \right. \)

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