2. \( 2 y^{2}-3 x^{2}-8 y-12 x-1=0 \) จุดศูนย์กลาง คือ จุดยอด คือ โฟกัส คือ จุดปลายแกนสังยุค คือ สมการเส้นกำกับ คือ

เราศึกษาสมการ   2y² – 3x² – 8y – 12x – 1 = 0 โดยเริ่มต้นจัดรูปใหม่และทำ “complete square” ดังนี้ 1. จัดกลุ่มพจน์ของ x และ y:   2y² – 8y – 3x² – 12x – 1 = 0 2. จัดให้อยู่ในรูปของ complete square   • สำหรับ y:     2y² – 8y = 2(y² – 4y)       = 2[(y – 2)² – 4]       = 2(y – 2)² – 8   • สำหรับ x:     –3x² – 12x = –3(x² + 4x)       = –3[(x + 2)² – 4]       = –3(x + 2)² + 12 3. แทนกลับลงในสมการ   2(y – 2)² – 8 – 3(x + 2)² + 12 – 1 = 0   รวมตัวคงที่: –8 + 12 – 1 = 3   จึงได้     2(y – 2)² – 3(x + 2)² + 3 = 0   หรือ     2(y – 2)² – 3(x + 2)² = –3 4. คูณทั้งสองข้างด้วย –1   3(x + 2)² – 2(y – 2)² = 3 5. หารทั้งสองข้างด้วย 3   (x + 2)² – [2/3](y – 2)² = 1               (1) เปรียบเทียบกับรูปมาตรฐานของสมการ Hyperbola ที่มีแกนหลักแนวนอน   (x – h)²/a² – (y – k)²/b² = 1 จะเห็นว่า   • จุดศูนย์กลาง (h, k) = (–2, 2)   • a² = 1 → a = 1   • b² = 3/2 → b = √(3/2) = (√6)/2 จากข้อมูลที่ได้ สามารถหาคุณลักษณะต่าง ๆ ได้ดังนี้ ───────────────────────────── 1. จุดศูนย์กลาง   • คำตอบ: (–2, 2) ───────────────────────────── 2. จุดยอด (Vertices)   สำหรับ hyperbola ที่เปิดในแนวแกน x จุดยอดอยู่ที่     (h ± a, k)     = (–2 ± 1, 2)   • คำตอบ: (–3, 2) และ (–1, 2) ───────────────────────────── 3. โฟกัส (Foci)   คำนวณค่า c จากสูตร     c² = a² + b² = 1 + (3/2) = 5/2    →  c = √(5/2) = (√10)/2   ตำแหน่งโฟกัสสำหรับ hyperbola แนวนอนคือ     (h ± c, k)     = (–2 ± (√10)/2, 2)   • คำตอบ: (–2 – (√10)/2, 2) และ (–2 + (√10)/2, 2) ───────────────────────────── 4. จุดปลายแกนสังยุค (Endpoints of the Conjugate Axis)   แกนสังยุคอยู่ในแนวตั้ง โดยมีจุดปลายอยู่ที่     (h, k ± b)     = (–2, 2 ± (√6)/2)   • คำตอบ: (–2, 2 – (√6)/2) และ (–2, 2 + (√6)/2) ───────────────────────────── 5. สมการเส้นกำกับ (Directrices)   สำหรับสมการ hyperbola แนวนอน รูปของเส้นกำกับคือ     x = h ± a/e  โดยที่ e (eccentricity) = c/a   ในที่นี้  e = (√(5/2))/1 = √(5/2)   ดังนั้น     x = –2 ± 1/√(5/2)   แต่     1/√(5/2) = √(2/5)   (เพราะ 1/√(5/2) = √2/√5 = √(2/5))   • คำตอบ: x = –2 – √(2/5) และ x = –2 + √(2/5) ───────────────────────────── สรุปคำตอบเป็นภาษาไทย   • จุดศูนย์กลาง: (–2, 2)   • จุดยอด: (–3, 2) และ (–1, 2)   • โฟกัส: (–2 – (√10)/2, 2) และ (–2 + (√10)/2, 2)   • จุดปลายแกนสังยุค: (–2, 2 – (√6)/2) และ (–2, 2 + (√6)/2)   • สมการเส้นกำกับ: x = –2 – √(2/5) และ x = –2 + √(2/5) นี่คือคำตอบของโจทย์ที่ได้รับค่ะ