Вариант 1 1.(1б) Найти координаты середины отрезка AB , если \( \mathrm{A}(6 ;-7) \), В \( (4 ; 5) \). 2. (1б) Точка O - середина отрезка АС. Найди координаты точки A , если \( \mathrm{C}(4 ;-3) \), а \( \mathrm{O}(2 ; 4) \). 3. (16)Найти расстояние между точками M и N , если \( \mathrm{M}(8 ;-7) \), а \( \mathrm{N}(11 ;-3) \). 4. (16) Определить по уравнению окружности \( (x-3)^{2}+(y-5)^{2}=25 \) координаты её центра и радиус.Начертить эту окружность. 5. (16) Найти координаты точек пересечения прямых \( 4 x-2 y=0 \) и - \( x+2 y=12 \). 6. (2б) Составить уравнение окружности с центром в точке \( \mathrm{O}(-2 ; 1) \), проходящей через точку Т \( (2 ;-6) \).

Ниже приведены решения заданий: 1. Найти координаты середины отрезка AB, если A(6; –7), B(4; 5).   Формула для нахождения середины отрезка:     M = ((x₁ + x₂)/2; (y₁ + y₂)/2).   Подставляем координаты:     xₘ = (6 + 4) / 2 = 10/2 = 5     yₘ = (–7 + 5) / 2 = (–2)/2 = –1   Ответ: M(5; –1). 2. Точка O – середина отрезка AC. Найти координаты точки A, если C(4; –3), а O(2; 4).   Пусть O = ((x_A + x_C)/2; (y_A + y_C)/2). Тогда:     2 = (x_A + 4)/2 → x_A + 4 = 4 → x_A = 0     4 = (y_A + (–3))/2 → y_A – 3 = 8 → y_A = 11   Ответ: A(0; 11). 3. Найти расстояние между точками M и N, если M(8; –7), N(11; –3).   Расстояние между двумя точками вычисляется по формуле:     d = √[(x₂ – x₁)² + (y₂ – y₁)²].   Подставляем координаты:     d = √[(11 – 8)² + (–3 – (–7))²] = √[3² + 4²] = √[9 + 16] = √25 = 5   Ответ: расстояние равно 5. 4. Определить по уравнению окружности (x – 3)² + (y – 5)² = 25 координаты её центра и радиус. Начертить эту окружность.   Стандартное уравнение окружности имеет вид (x – a)² + (y – b)² = r², где (a, b) – центр, а r – радиус.   Сравнивая, получаем:     Центр: (3; 5)     r² = 25, откуда r = 5   Ответ: центр окружности (3; 5), радиус 5. (Для чертежа нарисуйте точку (3; 5) и окружность с радиусом 5, используя масштаб соответствующий координатной плоскости.) 5. Найти координаты точек пересечения прямых 4x – 2y = 0 и –x + 2y = 12.   Решим систему:     (1) 4x – 2y = 0     (2) –x + 2y = 12   Из уравнения (2) выразим x:     –x + 2y = 12 → x = 2y – 12   Подставляем найденное выражение в (1):     4(2y – 12) – 2y = 0     8y – 48 – 2y = 0     6y – 48 = 0     6y = 48     y = 8   Теперь x = 2∙8 – 12 = 16 – 12 = 4   Ответ: точка пересечения (4; 8). 6. Составить уравнение окружности с центром в точке O(–2; 1), проходящей через точку T(2; –6).   Сначала находим радиус r как расстояние между O и T:     r = √[(2 – (–2))² + (–6 – 1)²] = √[(4)² + (–7)²] = √(16 + 49) = √65   Уравнение окружности с центром (–2; 1) и радиусом r имеет вид:     (x – (–2))² + (y – 1)² = r² → (x + 2)² + (y – 1)² = 65   Ответ: (x + 2)² + (y – 1)² = 65. Все задачи решены.