8. (3б) Составить уравнение прямой, которая параллельна прямой \( y=4 x-5 \) и проходи через центр окружности \( x^{2}-8 x+y^{2}+10 y-40=0 \).

Для решения задачи, давайте сначала извлечем известные условия. 1. У нас есть прямая \( y = 4x - 5 \). Угловой коэффициент этой прямой равен 4. 2. Нам нужно найти уравнение прямой, которая параллельна данной прямой, что означает, что угловой коэффициент будет также равен 4. 3. Прямая должна проходить через центр окружности, заданной уравнением \( x^{2} - 8x + y^{2} + 10y - 40 = 0 \). Теперь давайте найдем центр окружности. Уравнение окружности можно привести к стандартному виду, используя метод выделения полного квадрата. ### Шаг 1: Приведение уравнения окружности к стандартному виду Уравнение окружности: \[ x^{2} - 8x + y^{2} + 10y - 40 = 0 \] Сначала выделим полный квадрат для \( x \) и \( y \). Для \( x \): \[ x^{2} - 8x = (x - 4)^{2} - 16 \] Для \( y \): \[ y^{2} + 10y = (y + 5)^{2} - 25 \] Теперь подставим это в уравнение окружности: \[ (x - 4)^{2} - 16 + (y + 5)^{2} - 25 - 40 = 0 \] \[ (x - 4)^{2} + (y + 5)^{2} - 81 = 0 \] \[ (x - 4)^{2} + (y + 5)^{2} = 81 \] Таким образом, центр окружности находится в точке \( (4, -5) \). ### Шаг 2: Составление уравнения прямой Теперь, зная, что угловой коэффициент прямой равен 4 и она проходит через точку \( (4, -5) \), мы можем использовать уравнение прямой в точечной форме: \[ y - y_1 = m(x - x_1) \] где \( m \) — угловой коэффициент, \( (x_1, y_1) \) — координаты точки. Подставим значения: - \( m = 4 \) - \( (x_1, y_1) = (4, -5) \) Подставляем в уравнение: \[ y - (-5) = 4(x - 4) \] \[ y + 5 = 4x - 16 \] \[ y = 4x - 21 \] ### Ответ Уравнение прямой, которая параллельна прямой \( y = 4x - 5 \) и проходит через центр окружности, равно: \[ y = 4x - 21 \]