De acuerdo al gráfico, determina: \( \left.C=\left(\frac{3 \sqrt{5}}{3}\right)^{2}+\left(\frac{2}{3}\right)^{2}+\left(\frac{\sqrt{33}}{3}\right)^{2}\right) \) \( C=\left(\cot ^{2} \theta+\cot ^{2} \alpha\right) \csc ^{2} \beta \) a) 120 b) 140 c) 160 d) 180 e) 320

Para resolver el problema, primero calcularemos el valor de \( C \) utilizando la expresión dada: \[ C = \left(\frac{3 \sqrt{5}}{3}\right)^{2} + \left(\frac{2}{3}\right)^{2} + \left(\frac{\sqrt{33}}{3}\right)^{2} \] Ahora, desglosamos cada término: 1. **Primer término:** \[ \left(\frac{3 \sqrt{5}}{3}\right)^{2} = \left(\sqrt{5}\right)^{2} = 5 \] 2. **Segundo término:** \[ \left(\frac{2}{3}\right)^{2} = \frac{4}{9} \] 3. **Tercer término:** \[ \left(\frac{\sqrt{33}}{3}\right)^{2} = \frac{33}{9} \] Ahora sumamos todos los términos: \[ C = 5 + \frac{4}{9} + \frac{33}{9} \] Para sumar \( 5 \) con las fracciones, convertimos \( 5 \) a una fracción con denominador \( 9 \): \[ 5 = \frac{45}{9} \] Entonces, sumamos: \[ C = \frac{45}{9} + \frac{4}{9} + \frac{33}{9} = \frac{45 + 4 + 33}{9} = \frac{82}{9} \] Ahora, calculamos el valor de \( C \): \[ C = \frac{82}{9} \approx 9.11 \] Sin embargo, el problema también menciona que \( C = \left(\cot^{2} \theta + \cot^{2} \alpha\right) \csc^{2} \beta \). Para determinar el valor de \( C \) en términos de \( \theta \), \( \alpha \) y \( \beta \), necesitamos más información sobre estos ángulos. Dado que no se proporciona información adicional sobre \( \theta \), \( \alpha \) y \( \beta \), no podemos calcular \( C \) en términos de estos ángulos. Sin embargo, podemos observar que el valor calculado de \( C \) no coincide con ninguna de las opciones dadas (120, 140, 160, 180, 320). Por lo tanto, parece que hay un error en la interpretación del problema o en los valores de los ángulos. Si se proporciona más información sobre \( \theta \), \( \alpha \) y \( \beta \), podríamos continuar con el cálculo. Por ahora, el valor de \( C \) que hemos calculado es \( \frac{82}{9} \).