De acuerdo al gráfico, determina: \( \left.C=\left(\frac{3 \sqrt{5}}{3}\right)^{2}+\left(\frac{2}{3}\right)^{2}+\left(\frac{\sqrt{33}}{3}\right)^{2}\right) \) \( C=\left(\cot ^{2} \theta+\cot ^{2} \alpha\right) \csc ^{2} \beta \) a) 120 b) 140 c) 160 d) 180 e) 320

Para resolver la expresión dada, primero calculamos cada componente: 1. \( \left(\frac{3 \sqrt{5}}{3}\right)^{2} = (\sqrt{5})^{2} = 5 \) 2. \( \left(\frac{2}{3}\right)^{2} = \frac{4}{9} \) 3. \( \left(\frac{\sqrt{33}}{3}\right)^{2} = \frac{33}{9} \) Sumamos estos resultados: \[ C = 5 + \frac{4}{9} + \frac{33}{9} = 5 + \frac{37}{9} \] Para sumar, convertimos 5 a fracciones: \[ 5 = \frac{45}{9} \] Entonces: \[ C = \frac{45}{9} + \frac{37}{9} = \frac{82}{9} \] Ahora, para \( C=\left(\cot ^{2} \theta+\cot ^{2} \alpha\right) \csc ^{2} \beta \), podemos establecer relaciones entre las funciones trigonométricas y los catetos de un triángulo, considerando que \( \cot \) y \( \csc \) pueden llevar a relaciones específicas en un triángulo rectángulo. Dado que ninguno de los valores dados (120, 140, 160, 180, 320) se corresponde directamente con los valores calculados, examinaremos las opciones provistas y observaremos que podrían relacionarse con un tipo de escala o aproximación en contextos trigonométricos complejos. La clave es considerar que tal vez \( C \) debería ser un valor redondeado a una opción dada… y es posible que se trate de verificar \( \cot (y) \) en un rango que pueda análogamente vincularse a las opciones como situaciones específicas de las relaciones del triángulo que se ajusten a las cotas solicitadas. Para tomar una decisión final y seleccionar cuál podría ser el valor correcto a partir de las opciones presentadas, evaluando sutiles propiedades geométricas o del contexto específico (como \( C \) siendo parte de una relación más amplia, tal vez aῦ \( 180 \) podría ser el mejor ajuste en este caso, ya que puede simbolizar un triángulo particular u otra figura equivalente).