A98 Data la parabola di equazione \( y=a x^{2}+b x+c \) con il vertice nell'origine e passante per il punto \( \left(\frac{\sqrt{3}}{3} ; \frac{\sqrt{3}}{3}\right) \), considera il triangolo equilatero \( A B O \) che ha un vertice in \( O \) e i vertici \( A \) e \( B \) sulla parabola. Trova le coordinate di \( A \) e \( B \) e l'area del triangolo. \( [A(1 ; \sqrt{3}), B(-1 ; \sqrt{3}) ; \sqrt{3}] \)

Consideriamo una parabola della forma   y = ax² + bx + c con il vertice in O(0,0). Poiché il vertice è in (0,0) abbiamo necessariamente   b = 0 e c = 0, quindi la parabola assume la forma   y = ax². Inoltre, la parabola passa per il punto P(√3/3, √3/3). Sostituendo le coordinate di P nell’equazione otteniamo   √3/3 = a · (√3/3)². Osserviamo che (√3/3)² = 3/9 = 1/3, dunque:   √3/3 = a/3  ⟹  a = √3. Quindi, l’equazione della parabola diventa   y = √3 · x². Adesso, consideriamo il triangolo equilatero ABO dove O è l’origine (0,0) e i punti A e B sono punti sulla parabola. Per simmetria (dato il vertice in O e la forma della parabola) supponiamo che A e B abbiano coordinate:   A = (x, √3 · x²)  e  B = (–x, √3 · x²), con x > 0 (in modo che A abbia x positivo e B negativo). Nel triangolo equilatero la lunghezza di tutti i lati è uguale. Calcoliamo le distanze: 1. Distanza OA:   OA = √[x² + (√3 · x²)²] = √[x² + 3x⁴]. 2. Distanza AB: Poiché A e B hanno la stessa ordinata, la distanza è   AB = |x – (–x)| = 2|x| = 2x. Essendo il triangolo equilatero, imponiamo l’uguaglianza OA = AB:   √(x² + 3x⁴) = 2x. Elevando al quadrato entrambi i membri otteniamo:   x² + 3x⁴ = 4x²  ⟹  3x⁴ = 3x²  ⟹  x⁴ = x². Per x ≠ 0, dividendo entrambi i membri per x² si ha:   x² = 1 ⟹ x = 1 (ricordando che x > 0). Quindi, le coordinate dei punti sono:   A = (1, √3 · (1)²) = (1, √3),   B = (–1, √3 · (1)²) = (–1, √3). Verifichiamo brevemente: la distanza OA è   OA = √(1² + (√3)²) = √(1 + 3) = 2 e la distanza AB è   AB = |1 – (–1)| = 2, quindi il triangolo ha tutti i lati di lunghezza 2. L’area del triangolo equilatero di lato ℓ è data da   Area = (√3/4)·ℓ². Con ℓ = 2,   Area = (√3/4)·(2)² = (√3/4)·4 = √3. Per riassumere:   • Le coordinate dei vertici sono A(1, √3), B(–1, √3) ed O(0, 0).   • L’area del triangolo equilatero ABO è √3.