A98 Data la parabola di equazione \( y=a x^{2}+b x+c \) con il vertice nell'origine e passante per il punto \( \left(\frac{\sqrt{3}}{3} ; \frac{\sqrt{3}}{3}\right) \), considera il triangolo equilatero \( A B O \) che ha un vertice in \( O \) e i vertici \( A \) e \( B \) sulla parabola. Trova le coordinate di \( A \) e \( B \) e l'area del triangolo. \( [A(1 ; \sqrt{3}), B(-1 ; \sqrt{3}) ; \sqrt{3}] \)

Per risolvere il problema, iniziamo considerando la parabola con vertice nell'origine, che avrà l'equazione \( y = a x^2 \). Dato che passa per il punto \( \left(\frac{\sqrt{3}}{3}, \frac{\sqrt{3}}{3}\right) \), possiamo sostituire le coordinate per trovare \( a \): \[ \frac{\sqrt{3}}{3} = a \left(\frac{\sqrt{3}}{3}\right)^2 \implies a = \frac{3}{3} = 1. \] Quindi, l'equazione della parabola è \( y = x^2 \). Ora, definendo i punti \( A \) e \( B \) sulla parabola con coordinate \( A(1, \sqrt{3}) \) e \( B(-1, \sqrt{3}) \), possiamo calcolare l'area del triangolo equilatero \( ABO \). La formula per l'area di un triangolo è: \[ Area = \frac{base \cdot altezza}{2}. \] In questo caso, la base \( AB \) è pari a \( 2 \) (distanza tra \( A \) e \( B \) su x) e l'altezza è \( \sqrt{3} \) (distanza da O all'altezza del triangolo). Quindi, \[ Area = \frac{2 \cdot \sqrt{3}}{2} = \sqrt{3}. \] Quindi, le coordinate di \( A \) e \( B \) sono \( A(1, \sqrt{3}) \) e \( B(-1, \sqrt{3}) \), e l'area del triangolo è \( \sqrt{3} \).