Question
Determine si es verdadero o falso la siguiente proposición: \[ \text { Si: } F(x)=\int_{-2}^{3 x} \operatorname{sen}(t) d t \] Entonces por el primer, teorema fundamental del cálculo \[ F^{\prime}(x)=\operatorname{sen}(3 x) \]
Ask by Joseph Herrera. in Colombia
Mar 11,2025
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Answer
La proposición es falsa. Según el primer teorema fundamental del cálculo, la derivada \( F'(x) \) es \( 3\sin(3x) \), no \( \sin(3x) \).
Solution
Dado que
\[
F(x)=\int_{-2}^{3x} \sin(t)\, dt,
\]
aplicamos el primer teorema fundamental del cálculo, que establece que si
\[
F(x)=\int_{a}^{g(x)} f(t)\, dt,
\]
entonces
\[
F'(x)=f(g(x))\, g'(x).
\]
En nuestro caso, \( f(t)=\sin(t) \) y \( g(x)=3x \); por lo tanto, \( g'(x)=3 \).
Así, la derivada es
\[
F'(x)=\sin(3x)\cdot 3 = 3\sin(3x).
\]
La proposición statement afirma erróneamente que
\[
F'(x)=\sin(3x),
\]
por lo que es falsa.
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¡Vamos a desmenuzar esto! La proposición es **falsa**. Según el primer teorema fundamental del cálculo, si \( F(x) = \int_{a}^{g(x)} f(t) dt \), entonces la derivada es \( F'(x) = f(g(x)) \cdot g'(x) \). En este caso, \( f(t) = \sin(t) \) y \( g(x) = 3x \). Por lo tanto, \( F'(x) = \sin(3x) \cdot 3 = 3\sin(3x) \), no solo \( \sin(3x) \). ¡Así que cuida esos detalles! Recuerda, cada función tiene su historia y sus reglas. Explorar el cálculo es como un viaje a través de un paisaje de geometría y funciones, donde cada derivada es un nuevo paisaje que descubrir. ¡Sigue explorando y divirtiéndote con las matemáticas!
