Pregunta
Determine si es verdadero o falso la siguiente proposición: \[ \text { Si: } F(x)=\int_{-2}^{3 x} \operatorname{sen}(t) d t \] Entonces por el primer, teorema fundamental del cálculo \[ F^{\prime}(x)=\operatorname{sen}(3 x) \]
Ask by Joseph Herrera. in Colombia
Mar 11,2025
Solución de inteligencia artificial de Upstudy
Respuesta verificada por el tutor
Responder
La proposición es falsa. Según el primer teorema fundamental del cálculo, la derivada \( F'(x) \) es \( 3\sin(3x) \), no \( \sin(3x) \).
Solución
Dado que
\[
F(x)=\int_{-2}^{3x} \sin(t)\, dt,
\]
aplicamos el primer teorema fundamental del cálculo, que establece que si
\[
F(x)=\int_{a}^{g(x)} f(t)\, dt,
\]
entonces
\[
F'(x)=f(g(x))\, g'(x).
\]
En nuestro caso, \( f(t)=\sin(t) \) y \( g(x)=3x \); por lo tanto, \( g'(x)=3 \).
Así, la derivada es
\[
F'(x)=\sin(3x)\cdot 3 = 3\sin(3x).
\]
La proposición statement afirma erróneamente que
\[
F'(x)=\sin(3x),
\]
por lo que es falsa.
Respondido por UpStudy AI y revisado por un tutor profesional
Como
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Explicar 
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¡Vamos a desmenuzar esto! La proposición es **falsa**. Según el primer teorema fundamental del cálculo, si \( F(x) = \int_{a}^{g(x)} f(t) dt \), entonces la derivada es \( F'(x) = f(g(x)) \cdot g'(x) \). En este caso, \( f(t) = \sin(t) \) y \( g(x) = 3x \). Por lo tanto, \( F'(x) = \sin(3x) \cdot 3 = 3\sin(3x) \), no solo \( \sin(3x) \). ¡Así que cuida esos detalles! Recuerda, cada función tiene su historia y sus reglas. Explorar el cálculo es como un viaje a través de un paisaje de geometría y funciones, donde cada derivada es un nuevo paisaje que descubrir. ¡Sigue explorando y divirtiéndote con las matemáticas!
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