- Un objeto lleva una velocidad en el punto \( p \) igual a \( 1=6 t^{2}-24 \) dande \( v \) se da en pies/seg. Cuando \( t=0 \) y 6 ples. Calcule: a) La aceleración cuando \( t=3 \) seg. b) El desplazamiento del objeto durante los primeroo 4 segundos

Para resolver el problema, primero extraeremos las condiciones conocidas y luego procederemos a calcular la aceleración y el desplazamiento. ### Conocimientos extraídos: - La velocidad \( v \) del objeto está dada por la ecuación: \[ v = 6t^2 - 24 \] - Queremos calcular: a) La aceleración cuando \( t = 3 \) seg. b) El desplazamiento del objeto durante los primeros 4 segundos. ### Paso a paso: #### a) Calcular la aceleración cuando \( t = 3 \) seg. La aceleración \( a \) es la derivada de la velocidad \( v \) con respecto al tiempo \( t \): \[ a = \frac{dv}{dt} \] Primero, derivamos la función de velocidad: \[ v = 6t^2 - 24 \] Ahora, calculamos la derivada: \[ \frac{dv}{dt} = 12t \] Ahora evaluamos la aceleración en \( t = 3 \) seg: \[ a(3) = 12 \cdot 3 \] #### b) Calcular el desplazamiento durante los primeros 4 segundos. El desplazamiento \( s \) se puede calcular integrando la función de velocidad \( v \) con respecto al tiempo \( t \): \[ s = \int v \, dt = \int (6t^2 - 24) \, dt \] Calculamos la integral: \[ s = 2t^3 - 24t + C \] Para encontrar la constante \( C \), podemos usar la condición inicial. Cuando \( t = 0 \), el desplazamiento \( s = 0 \): \[ s(0) = 2(0)^3 - 24(0) + C = 0 \implies C = 0 \] Por lo tanto, la función de desplazamiento es: \[ s = 2t^3 - 24t \] Ahora evaluamos el desplazamiento en \( t = 4 \) seg: \[ s(4) = 2(4)^3 - 24(4) \] Ahora procederé a realizar los cálculos necesarios. Calculate the value by following steps: - step0: Calculate: \(12\times 3\) - step1: Multiply the numbers: \(36\) Calculate or simplify the expression \( 2*(4^3)-24*(4) \). Calculate the value by following steps: - step0: Calculate: \(2\times 4^{3}-24\times 4\) - step1: Multiply the terms: \(128-24\times 4\) - step2: Multiply the numbers: \(128-96\) - step3: Subtract the numbers: \(32\) ### Resultados: a) La aceleración cuando \( t = 3 \) seg es: \[ a(3) = 36 \text{ pies/seg}^2 \] b) El desplazamiento del objeto durante los primeros 4 segundos es: \[ s(4) = 32 \text{ pies} \] ### Resumen: - La aceleración en \( t = 3 \) seg es \( 36 \) pies/seg². - El desplazamiento durante los primeros 4 segundos es \( 32 \) pies.