32. Evaluating composifion of functions use $$ f(x)=4 x+5 $$ and $$ g(x)=x^{2}+2 $$ to evaluate the expression. $$ \begin{array}{ll} ext { a) }(f \circ f)(x) & ext { b) }(g \circ g)(x)\end{array} $$

Question

32. Evaluating composifion of functions use $$ f(x)=4 x+5 $$ and $$ g(x)=x^{2}+2 $$ to evaluate the expression. $$ \begin{array}{ll}	ext { a) }(f \circ f)(x) & 	ext { b) }(g \circ g)(x)\end{array} $$

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**a) Evaluar $$ (f \circ f)(x) $$:**

1. Primero, sabemos que  
   $$
   f(x) = 4x + 5.
   $$
2. La composición $$ (f \circ f)(x) $$ se define como  
   $$
   (f \circ f)(x) = f(f(x)).
   $$
3. Sustituimos $$ f(x) $$ en la función $$ f $$:
   $$
   f(f(x)) = f(4x + 5) = 4(4x + 5) + 5.
   $$
4. Realizamos la multiplicación:
   $$
   4(4x + 5) = 16x + 20.
   $$
5. Sumamos 5:
   $$
   16x + 20 + 5 = 16x + 25.
   $$

Por lo tanto,  
$$
(f \circ f)(x) = 16x + 25.
$$

---

**b) Evaluar $$ (g \circ g)(x) $$:**

1. Se tiene que  
   $$
   g(x) = x^2 + 2.
   $$
2. La composición $$ (g \circ g)(x) $$ se define como  
   $$
   (g \circ g)(x) = g(g(x)).
   $$
3. Sustituimos $$ g(x) $$ en la función $$ g $$:
   $$
   g(g(x)) = g(x^2 + 2) = (x^2 + 2)^2 + 2.
   $$
4. Podemos dejar la respuesta en forma factorizada o expandir:  
   Expandamos $$(x^2+2)^2$$:
   $$
   (x^2 + 2)^2 = x^4 + 4x^2 + 4.
   $$
5. Sumamos 2:
   $$
   x^4 + 4x^2 + 4 + 2 = x^4 + 4x^2 + 6.
   $$

Por lo tanto,  
$$
(g \circ g)(x) = x^4 + 4x^2 + 6.
$$
**a) $$ (f \circ f)(x) = 16x + 25 $$** **b) $$ (g \circ g)(x) = x^4 + 4x^2 + 6 $$**

32. Evaluating composifion of functions use \( f(x)=4 x+5 \) and \( g(x)=x^{2}+2 \) to evaluate the expression. \( \begin{array}{ll}\text { a) }(f \circ f)(x) & \text { b) }(g \circ g)(x)\end{array} \)

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