Soit la parabole d'équation \( 4 y^{2}+408 x-8 y-812=0 \). Donner la valeur de sa distance focale.

Nous commençons par l'équation donnée : \[ 4y^2 + 408x - 8y - 812 = 0. \] 1. Regroupons les termes en \(y\) et isolons les autres : \[ 4y^2 - 8y + 408x -812 = 0. \] Factorisons \(4\) dans les termes en \(y\) : \[ 4\left(y^2 - 2y\right) + 408x -812 = 0. \] 2. Complétons le carré pour l'expression en \(y\). On a : \[ y^2 - 2y = (y-1)^2 - 1. \] Ainsi, l'équation devient \[ 4\left((y-1)^2 -1\right) + 408x -812 = 0. \] En développant, \[ 4(y-1)^2 - 4 + 408x -812 = 0. \] Regroupons les constantes : \[ 4(y-1)^2 + 408x -816 = 0. \] 3. Isolons le terme en \(x\) : \[ 408x = 816 - 4(y-1)^2. \] Divisons ensuite par \(408\) : \[ x = 2 - \frac{4}{408}(y-1)^2. \] Remarquons que \(\frac{4}{408} = \frac{1}{102}\), donc \[ x = 2 - \frac{1}{102}(y-1)^2. \] Ceci s'écrit équivalemment sous la forme : \[ x-2 = -\frac{1}{102}(y-1)^2. \] 4. Pour mettre cette équation sous la forme standard d'une parabole horizontale, rappelons que la forme canonique est : \[ (y-k)^2 = 4p(x-h). \] En multipliant l'équation précédente par \(-102\), nous obtenons : \[ -102(x-2) = (y-1)^2, \] ou \[ (y-1)^2 = -102(x-2). \] En comparant avec la forme canonique, nous identifions : \[ 4p = -102. \] 5. Nous pouvons alors résoudre pour \(p\) : \[ p = -\frac{102}{4} = -\frac{51}{2}. \] La valeur négative indique que la parabole s'ouvre vers la gauche. Cependant, la distance focale est la valeur absolue de \(p\). Ainsi, la distance focale est : \[ \left| p \right| = \frac{51}{2}. \] La valeur de la distance focale est donc \(\frac{51}{2}\).