Soit la parabole d'équation $$ 4 y^{2}+408 x-8 y-812=0 $$. Donner la valeur de sa distance focale.

Question

UpStudy AI · Accepted Answer

Nous commençons par l'équation donnée :
$$
4y^2 + 408x - 8y - 812 = 0.
$$

1. Regroupons les termes en $$y$$ et isolons les autres :
   $$
   4y^2 - 8y + 408x -812 = 0.
   $$
   Factorisons $$4$$ dans les termes en $$y$$ :
   $$
   4\left(y^2 - 2y\right) + 408x -812 = 0.
   $$

2. Complétons le carré pour l'expression en $$y$$. On a :
   $$
   y^2 - 2y = (y-1)^2 - 1.
   $$
   Ainsi, l'équation devient
   $$
   4\left((y-1)^2 -1\right) + 408x -812 = 0.
   $$
   En développant,
   $$
   4(y-1)^2 - 4 + 408x -812 = 0.
   $$
   Regroupons les constantes :
   $$
   4(y-1)^2 + 408x -816 = 0.
   $$

3. Isolons le terme en $$x$$ :
   $$
   408x = 816 - 4(y-1)^2.
   $$
   Divisons ensuite par $$408$$ :
   $$
   x = 2 - \frac{4}{408}(y-1)^2.
   $$
   Remarquons que $$\frac{4}{408} = \frac{1}{102}$$, donc
   $$
   x = 2 - \frac{1}{102}(y-1)^2.
   $$
   Ceci s'écrit équivalemment sous la forme :
   $$
   x-2 = -\frac{1}{102}(y-1)^2.
   $$

4. Pour mettre cette équation sous la forme standard d'une parabole horizontale, rappelons que la forme canonique est :
   $$
   (y-k)^2 = 4p(x-h).
   $$
   En multipliant l'équation précédente par $$-102$$, nous obtenons :
   $$
   -102(x-2) = (y-1)^2,
   $$
   ou
   $$
   (y-1)^2 = -102(x-2).
   $$
   En comparant avec la forme canonique, nous identifions :
   $$
   4p = -102.
   $$

5. Nous pouvons alors résoudre pour $$p$$ :
   $$
   p = -\frac{102}{4} = -\frac{51}{2}.
   $$
   La valeur négative indique que la parabole s'ouvre vers la gauche. Cependant, la distance focale est la valeur absolue de $$p$$. Ainsi, la distance focale est :
   $$
   \left| p \right| = \frac{51}{2}.
   $$

La valeur de la distance focale est donc $$\frac{51}{2}$$.
La distance focale de la parabole est $$\frac{51}{2}$$.

Soit la parabole d'équation \( 4 y^{2}+408 x-8 y-812=0 \). Donner la valeur de sa distance focale.

Solución de inteligencia artificial de Upstudy

Responder

Solución

Beyond the Answer

preguntas relacionadas

Latest Geometry Questions