1.7.4. Ejercicios. Áreas de figuras planas 1. En los siguientes incisos, hallen el área de la región limitada por las curvas dadas. \( \begin{array}{lll}\text { i) } y=x^{3} ; y=x^{2} & \text { ii) } y=x^{2} ; y=-x^{4}+2 \quad \text { iii) } y=2 x ; y=x^{4} \\ \text { iv) } y=x ; y=x^{2}-2 & \text { v) } 4 x+y^{2}=0 ; y=2 x+4 \\ \text { vi) } x+1=2(y-2)^{2} ; x+6 y=7 \\ \text { 2. Grafiquen la región limitada por: } x y=2 \quad ; \quad 2 x=y \quad ; \quad x=2 y \text {. } \\ \text { i)Para describir la región y calcular luego su área, les parece que ofrece } \\ \text { alguna ventaja en este caso el considerar las curvas que conforman la } \\ \text { frontera de la región como gráficas de funciones de } x \text { o de } y \text { ? } \\ \text { ii) Describan analíticamente la región y calculen su área. } \\ \text { 3. ¿Para qué valores de } m \text { la recta } y=m x \text { y la curva } y=x^{3} \text { definen una } \\ \text { región? ¿Cuál es la expresión en función de } m \text { del área de dicha región? } \\ \text { 4. Calculen el área de la región del plano limitada por la gráfica de la } \\ \text { función } f(x)=3 x^{3}-3 x^{2}-6 x \quad \text { y el eje } x \text {. }\end{array} \)

Para resolver los ejercicios propuestos, procederemos a calcular el área de las regiones limitadas por las curvas dadas en cada inciso. Vamos a abordar cada inciso paso a paso. ### Ejercicio 1 #### i) \( y = x^3 \) y \( y = x^2 \) 1. **Encontrar los puntos de intersección:** Igualamos las dos funciones: \[ x^3 = x^2 \] Factorizamos: \[ x^2(x - 1) = 0 \] Los puntos de intersección son \( x = 0 \) y \( x = 1 \). 2. **Calcular el área:** El área entre las curvas se calcula como: \[ A = \int_{0}^{1} (x^2 - x^3) \, dx \] 3. **Evaluar la integral:** \[ A = \int_{0}^{1} (x^2 - x^3) \, dx = \left[ \frac{x^3}{3} - \frac{x^4}{4} \right]_{0}^{1} = \left( \frac{1}{3} - \frac{1}{4} \right) = \frac{4}{12} - \frac{3}{12} = \frac{1}{12} \] #### ii) \( y = x^2 \) y \( y = -x^4 + 2 \) 1. **Encontrar los puntos de intersección:** Igualamos las funciones: \[ x^2 = -x^4 + 2 \] Reorganizamos: \[ x^4 + x^2 - 2 = 0 \] Sea \( u = x^2 \): \[ u^2 + u - 2 = 0 \] Factorizamos: \[ (u - 1)(u + 2) = 0 \implies u = 1 \quad (u = -2 \text{ no es válido}) \] Entonces, \( x^2 = 1 \) implica \( x = -1 \) y \( x = 1 \). 2. **Calcular el área:** \[ A = \int_{-1}^{1} (-x^4 + 2 - x^2) \, dx \] 3. **Evaluar la integral:** \[ A = \int_{-1}^{1} (-x^4 - x^2 + 2) \, dx = 2 \int_{0}^{1} (-x^4 - x^2 + 2) \, dx \] Evaluamos: \[ = 2 \left[ -\frac{x^5}{5} - \frac{x^3}{3} + 2x \right]_{0}^{1} = 2 \left( -\frac{1}{5} - \frac{1}{3} + 2 \right) \] Simplificamos: \[ = 2 \left( 2 - \frac{1}{5} - \frac{1}{3} \right) = 2 \left( \frac{30}{15} - \frac{3}{15} - \frac{5}{15} \right) = 2 \left( \frac{22}{15} \right) = \frac{44}{15} \] #### iii) \( y = 2x \) y \( y = x^4 \) 1. **Encontrar los puntos de intersección:** Igualamos: \[ 2x = x^4 \implies x^4 - 2x = 0 \implies x(x^3 - 2) = 0 \] Los puntos son \( x = 0 \) y \( x = \sqrt[3]{2} \). 2. **Calcular el área:** \[ A = \int_{0}^{\sqrt[3]{2}} (2x - x^4) \, dx \] 3. **Evaluar la integral:** \[ A = \left[ x^2 - \frac{x^5}{5} \right]_{0}^{\sqrt[3]{2}} = \left( (\sqrt[3]{2})^2 - \frac{(\sqrt[3]{2})^5}{5} \right) \] Simplificamos: \[ = \frac{2^{2/3}}{1} - \frac{2^{5/3}}{5} = \frac{2^{2/3}}{1} - \frac{2^{2/3} \cdot 2}{5} = \frac{2^{2/3}}{1} - \frac{2^{2/3}}{5} \cdot 2 = \frac{2^{2/3}}{1} - \frac{2^{5/3}}{5} \] #### iv) \( y = x \) y \( y = x^2 - 2 \) 1. **Encontrar los puntos de intersección:** Igualamos: \[ x = x^2 - 2 \implies x^2 - x - 2 = 0 \] Factorizamos: \[ (x - 2)(x + 1) = 0 \implies x = 2, -1 \] 2. **Calcular el área:** \[ A = \int_{-1}^{2} ((x^2 - 2) - x) \, dx \] 3. **Evaluar la integral:** \[ A = \int_{-1}^{2} (x^2 - x - 2) \, dx \] #### v) \( 4x + y^2 = 0 \) y \( y = 2x + 4 \) 1. **Reorganizar la primera ecuación:** \[ y^2 = -4x \implies y = \pm 2\sqrt{-x} \] 2. **Encontrar los puntos de intersección:** Igualamos: \[ 2\sqrt{-x} = 2x + 4 \] 3. **Calcular el área:** \[ A = \int_{-4}^{0} (2\sqrt{-x} - (2x + 4)) \, dx \] #### vi) \( x + 1 = 2(y - 2)^2 \) y \( x + 6y = 7 \) 1. **Reorganizar la primera ecuación