2) \( f(x)=\left(\frac{1}{3}\right)^{\frac{1}{x^{2}}} \)

Рассмотрим функцию   f(x) = (1/3)^(1/x²). Ниже приведём её подробный анализ. 1. Область определения  – В показателе степени находится выражение 1/x². Оно определено для всех x, кроме x = 0. Таким образом, область определения:   D = ℝ \ {0}. 2. Переписывание функции через экспоненту  Функцию можно записать в виде:   f(x) = exp{[ln(1/3)]/x²}.  Заметим, что ln(1/3) < 0, поскольку 1/3 < 1. 3. Поведение функции при различных значениях x  а) При x → ±∞:   – При x → ±∞ 1/x² → 0, соответственно, экспонента стремится к exp(0) = 1.   Следовательно, горизонтальная асимптота: y = 1.  б) При x → 0:   – При x → 0, 1/x² → +∞. Тогда f(x) = exp{[ln(1/3)]·(+∞)} = exp(–∞) = 0.   Хотя предел при x → 0 равен 0, сама функция не определена в точке x = 0. 4. Симметрия  – Поскольку в формуле f(x) встречается только x², функция нечётная (конкретнее – симметрична относительно оси Oy):   f(–x) = (1/3)^(1/(–x)²) = (1/3)^(1/x²) = f(x). 5. Производная и монотонность  Запишем f(x) в виде:   f(x) = exp(u(x)), где u(x) = ln(1/3)/x².   Вычислим производную u(x):    u'(x) = ln(1/3) · (–2)/x³ = –(2 ln(1/3))/x³.   Тогда производная f(x):    f'(x) = f(x) · u'(x) = –(2 ln(1/3))/x³ · f(x).  Заметим, что ln(1/3) < 0, следовательно, –2 ln(1/3) > 0. Теперь анализируем знак производной:   • Для x > 0: x³ > 0 → f'(x) > 0, функция возрастает.   • Для x < 0: x³ < 0 → f'(x) < 0, функция убывает.   Учитывая симметричность, можно сделать вывод: на положительной части график возрастает от f(x) → 0 (при x → 0+) до f(x) → 1 (при x → +∞), а на отрицательной части – убывает от f(x) → 1 (при x → –∞) до f(x) → 0 (при x → 0–). 6. Значения функции и её промежутки  – Для любого конечного x ≠ 0 значение показателя 1/x² строго положительно, а ln(1/3) < 0, поэтому степень (ln(1/3))/x² отрицательна. Следовательно:   f(x) = exp(отрицательное число) < 1.  – При стремлении x → ±∞ f(x) → exp(0) = 1, но это значение достигается лишь на горизонтальной асимптоте.  – При стремлении x → 0 f(x) → 0.  Таким образом, множество значений функции – все числа из интервала (0, 1). 7. Итоговое описание  Функция f(x) = (1/3)^(1/x²):   – Определена для всех x, кроме 0.   – Является чётной (симметрична относительно оси Oy).   – При x → 0 функция стремится к 0, а при x → ±∞ – стремится к 1 (горизонтальная асимптота).   – На промежутке (0, +∞) функция монотонно возрастает, а на промежутке (–∞, 0) – монотонно убывает.   – Диапазон значений: (0, 1). Это полный анализ заданной функции.