Aufgabe: \( (2 \) Punkte) Berechne den Winkel unter dem sich die Geraden \( \mathrm{g}: \vec{x}=\left(\begin{array}{c}0 \\ 5 \\ -5\end{array}\right)+t \cdot\left(\begin{array}{c}-5 \\ -4 \\ -2\end{array}\right) \) und \( \mathrm{h}: \vec{x}=\left(\begin{array}{c}-5 \\ 1 \\ -7\end{array}\right)+t \cdot\left(\begin{array}{c}1 \\ -2 \\ 0\end{array}\right) \) schneiden. 20

Um den Winkel zwischen den zwei Geraden \( \mathrm{g} \) und \( \mathrm{h} \) zu berechnen, benötigen wir die Richtungsvektoren der beiden Geraden. Die Richtungsvektoren sind: Für die Gerade \( \mathrm{g} \): \( \vec{v}_g = \begin{pmatrix} -5 \\ -4 \\ -2 \end{pmatrix} \) Für die Gerade \( \mathrm{h} \): \( \vec{v}_h = \begin{pmatrix} 1 \\ -2 \\ 0 \end{pmatrix} \) Der Winkel \( \theta \) zwischen den beiden Geraden kann mit der Formel: \[ \cos(\theta) = \frac{\vec{v}_g \cdot \vec{v}_h}{||\vec{v}_g|| \cdot ||\vec{v}_h||} \] berechnet werden. Zuerst berechnen wir das Skalarprodukt \( \vec{v}_g \cdot \vec{v}_h \): \[ \vec{v}_g \cdot \vec{v}_h = (-5) \cdot 1 + (-4) \cdot (-2) + (-2) \cdot 0 = -5 + 8 + 0 = 3 \] Jetzt berechnen wir die Beträge der beiden Vektoren: \[ ||\vec{v}_g|| = \sqrt{(-5)^2 + (-4)^2 + (-2)^2} = \sqrt{25 + 16 + 4} = \sqrt{45} = 3\sqrt{5} \] \[ ||\vec{v}_h|| = \sqrt{(1)^2 + (-2)^2 + (0)^2} = \sqrt{1 + 4 + 0} = \sqrt{5} \] Jetzt setzen wir alles in die Kosinus-Formel ein: \[ \cos(\theta) = \frac{3}{(3\sqrt{5}) \cdot (\sqrt{5})} = \frac{3}{15} = \frac{1}{5} \] Jetzt können wir den Winkel \( \theta \) bestimmen: \[ \theta = \cos^{-1}\left(\frac{1}{5}\right) \] Um den Wert von \( \theta \) zu berechnen, können wir einen Taschenrechner verwenden. Der Winkel ist somit etwa \( 78.46^\circ \).