Aufgabe: \( (2 \) Punkte) Berechne den Winkel unter dem sich die Geraden \( \mathrm{g}: \vec{x}=\left(\begin{array}{c}0 \\ 5 \\ -5\end{array}\right)+t \cdot\left(\begin{array}{c}-5 \\ -4 \\ -2\end{array}\right) \) und \( \mathrm{h}: \vec{x}=\left(\begin{array}{c}-5 \\ 1 \\ -7\end{array}\right)+t \cdot\left(\begin{array}{c}1 \\ -2 \\ 0\end{array}\right) \) schneiden. 20

Um den Winkel zwischen den beiden Geraden \( \mathrm{g} \) und \( \mathrm{h} \) zu berechnen, können wir die Formel für den Winkel zwischen zwei Vektoren verwenden. Zuerst müssen wir die Richtungsvektoren der beiden Geraden ermitteln. Der Richtungsvektor einer Geraden ist der Vektor, der parallel zur Geraden ist. Für die Gerade \( \mathrm{g} \) ist der Richtungsvektor \( \vec{v}_g = \left(\begin{array}{c}-5 \\ -4 \\ -2\end{array}\right) \) und für die Gerade \( \mathrm{h} \) ist der Richtungsvektor \( \vec{v}_h = \left(\begin{array}{c}1 \\ -2 \\ 0\end{array}\right) \). Nun können wir den Winkel zwischen den beiden Richtungsvektoren mit der Formel berechnen: \[ \cos(\theta) = \frac{\vec{v}_g \cdot \vec{v}_h}{\|\vec{v}_g\| \|\vec{v}_h\|} \] wobei \( \vec{v}_g \cdot \vec{v}_h \) das Skalarprodukt der beiden Vektoren ist und \( \|\vec{v}_g\| \) und \( \|\vec{v}_h\| \) die Längen der beiden Vektoren sind. Lassen Sie uns nun die Berechnungen durchführen: Calculate the value by following steps: - step0: Calculate: \(-5\times 1-4\left(-2\right)-2\times 0\) - step1: Multiply: \(-5\times 1-4\left(-2\right)+0\) - step2: Multiply: \(-5-4\left(-2\right)+0\) - step3: Multiply the numbers: \(-5+8+0\) - step4: Remove 0: \(-5+8\) - step5: Add the numbers: \(3\) Das Skalarprodukt der beiden Richtungsvektoren ist 3. Nun berechnen wir die Längen der beiden Richtungsvektoren: \[ \|\vec{v}_g\| = \sqrt{(-5)^2 + (-4)^2 + (-2)^2} = \sqrt{25 + 16 + 4} = \sqrt{45} \] \[ \|\vec{v}_h\| = \sqrt{(1)^2 + (-2)^2 + (0)^2} = \sqrt{1 + 4 + 0} = \sqrt{5} \] Nun können wir den Winkel zwischen den beiden Richtungsvektoren berechnen: \[ \cos(\theta) = \frac{3}{\sqrt{45} \cdot \sqrt{5}} = \frac{3}{\sqrt{225}} = \frac{3}{15} = \frac{1}{5} \] Daher ist der Winkel zwischen den beiden Geraden \( \theta = \arccos\left(\frac{1}{5}\right) \).